« Théorème de Wantzel » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→V. : paragraphe 1 |
: paragraphe 2 |
||
Ligne 78 :
\end{cases}
</math>
=== ===
Il faudra construire l'équation f(x) = 0, à coefficients rationnels,
qui donne toutes les valeurs de <math>x_n</math> et l'identifier avec l'équation
donnée F(x) = 0. Pour faire ce calcul on remarque que <math>A_{n-1}</math>
et <math>B_{n-1}</math> se ramènent à la forme <math>a_{n-1}x_{n-1} + a'_{n-1} \,</math>et <math>b_{n-1}x_{n-1} + b'_{n-1} \,</math>, en sorte que l'élimination de <math>x_{n-1}\,</math> entre les deux dernières équations ''(A)'' se fait immédiatement, ce qui donne une équation du quatrième degré en <math>x_n</math> ; on y remplacera ensuite <math>a_{n-1}</math> par <math>a''_{n-1}x_{n-2} + a^{(3)}_{n-1} \,</math>, <math>a'_{n-1}</math> par <math>a^{(4)}_{n-1}x_{n-2} + a^{(5)}_{n-1} \,</math>, <math>b_{n-1}</math> par <math>b''_{n-1}x_{n-2} + b^{(3)}_{n-1} \,</math>, <math>b'_{n-1}</math> par <math>b^{(4)}_{n-1}x_{n-2} + b^{(5)}_{n-1} \,</math> et <math>A_{n-2}</math>, <math>B_{n-2}</math> par <math>a_{n-2}x_{n-2} + a'_{n-2} \,</math>et <math>b_{n-2}x_{n-2} + b'_{n-2} \,</math>, puis on éliminera <math>x_{n-2}</math> entre l'équation du 4ème degré déjà obtenue et l'équation <math>x_{n-2}^2 + A_{n-3}x_{n-2} + B_{n-3} = 0</math> ;
et ainsi de suite. Les derniers termes des séries <math>a_{n-1}</math>, <math>a'_{n-1}</math>, <math>a''_{n-1}</math>,..., <math>b_{n-1}</math> , <math>b'_{n-1}</math> ,..., etc, doivent être des fonctions rationnelles des coefficients de F(x) = 0 ; si l'on peut leur assigner des valeurs rationnelles qui satisfassent aux équations de condition obtenues
en identifiant, on reproduira les équations ''(A)'' dont le système équivaut à l'équation ''F(x) = 0'' ; si les conditions ne peuvent être vérifiées en donnant des valeurs rationnelles aux indéterminées introduites, le problème ne peut être ramené au second degré.
=== ===
| |||