« Théorème de Wantzel » : différence entre les versions
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de données ''p , q , ..."
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En effet, supposons qu'une équation ''F(x) = 0'', à coefficients rationnels soit satisfaite par une racine de l'équation <math>x_n^2 + A_{n-1}x_n + B_{n-1} = 0</math>, en attribuant certaines valeurs convenables aux quantités <math> x_{n-1} </math>, <math> x_{n-2} </math>, ... ,<math> x_{1} </math>. La fonction rationnelle F(<math> x_{n} </math>) d'une racine de cette dernière équation peut se ramener à la forme <math>A'_{n-1}x_n+B'_{n-1}\,</math>, en désignant toujours par <math>A'_{n-1}\,</math> et <math>B'_{n-1}\,</math> des fonctions rationnelles de <math>x_{n-1}</math> , ..., <math>x_1</math> , ''p , q , '' ...; de même <math>A'_{n-1}\,</math> et <math>B'_{n-1}\,</math> peuvent prendre l'une et l'autre la forme <math>A'_{n-2}x_{n-1}+B'_{n-2}\,</math>, et ainsi de suite; on arrivera ainsi à <math>A'_{1}x_{2}+B'_{1}\,</math>, où <math>A'_{1}\,</math> et <math>B'_{1}\,</math> peuvent être mis sous la forme <math>A'x_{1}+B'\,</math>, dans laquelle ''A' '' et ''B' ''représentent des fonctions rationnelles des données ''p , q , '' ... Puisque <math>F(x_n) = 0</math> pour une des valeurs de <math>x_n</math>, on aura <math>A'_{n-1}x_n+B'_{n-1} = 0\,</math>, et il faudra que <math>A'_{n-1}\,</math> et <math>B'_{n-1}\,</math> soient nuls séparément, sans quoi l'équation <math>x_n^2 + A_{n-1}x_n + B_{n-1} = 0</math> serait satisfaite pour la valeur <math>\frac{B'_{n-1}}{A'{n-1}}</math> qui est une fonction rationnelle de <math>x_{n-1}</math> , ..., <math>x_1</math> , ''p , q , '' ...; ce qui est impossible; de même, <math>A'_{n-1}\,</math> et <math>B'_{n-1}\,</math> étant nuls, <math>A'_{n-2}\,</math> et <math>B'_{n-2}\,</math> le seront aussi et ainsi de suite jusqu'à ''A' ''et ''B' '' qui seront nuls identiquement, puisqu'ils ne renferment que des quantités données. Mais alors <math>A'_{1}\,</math> et <math>B'_{1}\,</math>, qui prennent également la forme <math>A'x_1+B' = 0\,</math>, quand on met pour <math>x_1 </math> chacune des racines de l'équation <math>x_1^2+ Ax_1 + B = 0</math>, s'annuleront pour ces deux valeurs
de <math>x_1</math> pareillement, les coefficients <math>A'_{2}\,</math> et <math>B'_{2}\,</math> peuvent être mis sous la forme <math>A'_1x_2 + B'_1\,</math> en prenant pour <math>x_2</math> l'une ou l'autre des racines de l'équation <math>x_2^2+ A_1x_2 + B_1 = 0</math>, correspondantes à chacune des valeurs de <math>x_1</math>, et par conséquent ils s'annuleront pour les quatre valeurs de <math>x_2</math> et pour les deux valeurs de <math>x_1</math> qui résultent de la combinaison des deux premières équations ''(A)''. On démontrera de même que <math>A'_{3}\,</math> et <math>B'_{3}\,</math> seront nuls en mettant pour <math>x_3</math> les <math>2^3</math> valeurs tirées des trois premières équations ''(A)'' conjointement avec les valeurs correspondantes de <math>x_2</math> et <math>x_1</math> ; et continuant de cette manière on conclura que <math>F(x_n)</math> s'annulera pour les <math>2^n</math> valeurs de <math>x_n</math> auxquelles conduit le système de toutes les équations ''(A)'' ou pour les <math>2^n</math> racines de ''f(x) = 0''. Ainsi une équation ''F(x) = 0'' à coefficients rationnels ne peut admettre une racine de ''f(x) = 0'' sans les admettre toutes; donc l'équation f(x) = 0 est irréductible.
==IV==
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