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210. {{sc|Théorème}}. ''Si deux formes réduites <math>\mathrm{(a, h, 0)},</math> <math>\mathrm{(a', h, 0)}</math> sont improprement équivalentes, on aura <math>\mathrm{aa' \equiv m^2 \pmod {2mh}}</math> |
210. {{sc|Théorème}}. ''Si deux formes réduites <math>\mathrm{(a, h, 0)},</math> <math>\mathrm{(a', h, 0)}</math> sont improprement équivalentes, on aura <math>\mathrm{aa' \equiv m^2 \pmod {2mh}},</math> <math>\mathrm{m}</math> étant le plus grand commun diviseur des nombres <math>\mathrm{a},</math> <math>\mathrm{2h}</math> ou <math>\mathrm{a'},</math> <math>\mathrm{2h} \, ;</math> et réciproquement si <math>\mathrm{a},</math> <math>\mathrm{2h} \, ;</math> <math>\mathrm{a'},</math> <math>\mathrm{2h}</math> ont le même plus grand diviseur commun <math>\mathrm{m},</math> et qu’on ait <math>\mathrm{aa' \equiv m^2 \pmod {2hm}},</math> les formes <math>\mathrm{(a,h,0)},</math> <math>\mathrm{(a',h,0)}</math> seront improprement équivalentes''. |
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I. Si la forme <math>(a, h, 0)</math> se change en <math>(a', h, 0)</math> par la transformation impropre <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math>, on aura les équations |
I. Si la forme <math>(a, h, 0)</math> se change en <math>(a', h, 0)</math> par la transformation impropre <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math>, on aura les équations |
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{{Br0}}Or en combinant les équations (2) et (4), on tire <math>(a\alpha \beta +2h\delta )\alpha =0</math>, |
{{Br0}}Or en combinant les équations (2) et (4), on tire <math>(a\alpha \beta +2h\delta )\alpha =0</math>, |
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et comme la supposition <math>\alpha =0</math> réduirait l’équation (1) à <math>a'=0</math> |
et comme la supposition <math>\alpha =0</math> réduirait l’équation (1) à <math>a'=0,</math> |
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contre l’hypothèse, on doit avoir <math>\alpha \beta +2h\delta =0</math> |
contre l’hypothèse, on doit avoir <math>\alpha \beta +2h\delta =0,</math> ou <math>\frac{\beta}{\delta}=-\frac{2h}{a},</math> et |
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partant <math>\beta =\pm \frac{2h}{m}</math> |
partant <math>\beta =\pm \frac{2h}{m},</math> <math>\delta =\mp \frac{a}{m} \, ;</math> l’équation (4) donne alors <math>\frac{\mp a \alpha \mp 2h\gamma}{m}=-1,</math> |
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ou <math>a\alpha +2h\gamma =\pm m</math> |
ou <math>a\alpha +2h\gamma =\pm m.</math> Ainsi la congruence que nous avions trouvée |
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devient <math>m^2 \equiv aa' \pmod {2mh}.</math> |
devient <math>m^2 \equiv aa' \pmod {2mh}.</math> |
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II. Si <math>m</math> est le plus grand diviseur commun des nombres <math>a</math> |
II. Si <math>m</math> est le plus grand diviseur commun des nombres <math>a,</math> <math>2h \, ;</math> |
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<math>a'</math> |
<math>a',</math> <math>2h,</math> et qu’on ait <math>aa' \equiv m^2 \pmod {2mh},</math> <math>\frac{a}{m},</math> <math>\frac{2h}{m},</math> <math>\frac{a'}{m},</math> <math>\frac{aa'-m^2}{2mh}</math> seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme <math>(a,h,0)</math> se |
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change en <math>(a',h,0)</math> par la substitution <math>-\frac{a'}{m},</math> <math>-\frac{2h}{m},</math> <math>\frac{aa'-m^2}{2mh},</math> <math>\frac{a}{m},</math> et |
change en <math>(a',h,0)</math> par la substitution <math>-\frac{a'}{m},</math> <math>-\frac{2h}{m},</math> <math>\frac{aa'-m^2}{2mh},</math> <math>\frac{a}{m},</math> et |
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que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes. |
que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes. |
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