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mAucun résumé des modifications |
mAucun résumé des modifications |
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| Contenu (par transclusion) : | Contenu (par transclusion) : | ||
| Ligne 3 : | Ligne 3 : | ||
On devra avoir |
On devra avoir |
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<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum\alpha\left(\frac{d\delta H}{dy}-\frac{d\delta G}{dz}\right)-\sum u\delta F\right]=0</math> |
<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum\alpha\left(\frac{d\delta H}{dy}-\frac{d\delta G}{dz}\right)-\sum u\delta F\right]=0,</math></center> |
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{{Br0}}ou, en intégrant par parties, |
{{Br0}}ou, en intégrant par parties, |
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| Ligne 9 : | Ligne 9 : | ||
{{MathForm1||<math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum\left(\delta G\frac{d\alpha}{dz}-\delta H\frac{d\alpha}{dy}\right)-\sum u\delta F\right]=</math> |
{{MathForm1||<math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum\left(\delta G\frac{d\alpha}{dz}-\delta H\frac{d\alpha}{dy}\right)-\sum u\delta F\right]=</math> |
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<math>=-\int dt\ d\tau\sum\delta F\left(u-\frac{d\gamma}{dy}+\frac{d\beta}{dz}\right)=0</math> |
<math>=-\int dt\ d\tau\sum\delta F\left(u-\frac{d\gamma}{dy}+\frac{d\beta}{dz}\right)=0,</math>}} |
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{{Br0}}d’où, en égalant à zéro le coefficient de l’arbitraire <math>\delta F</math> |
{{Br0}}d’où, en égalant à zéro le coefficient de l’arbitraire <math>\delta F,</math> |
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{{MathForm1|(3)|<math>u=\frac{d\gamma}{dy}-\frac{d\beta}{dz}</math> |
{{MathForm1|(3)|<math>u=\frac{d\gamma}{dy}-\frac{d\beta}{dz}.</math>}} |
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Cette relation nous donne (avec une intégration par parties) : |
Cette relation nous donne (avec une intégration par parties) : |
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| Ligne 19 : | Ligne 19 : | ||
{{MathForm1||<math>\int\sum Fud\tau=\int\sum F\left(\frac{d\gamma}{dy}-\frac{d\beta}{dz}\right)d\tau=\int\sum\left(\beta\frac{dF}{dz}-\gamma\frac{dF}{dy}\right)d\tau=</math> |
{{MathForm1||<math>\int\sum Fud\tau=\int\sum F\left(\frac{d\gamma}{dy}-\frac{d\beta}{dz}\right)d\tau=\int\sum\left(\beta\frac{dF}{dz}-\gamma\frac{dF}{dy}\right)d\tau=</math> |
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<math>=\int\sum\alpha\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)d\tau</math> |
<math>=\int\sum\alpha\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)d\tau,</math>}} |
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{{Br0}}ou |
{{Br0}}ou |
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<center><math>\int\sum Fud\tau=\int\sum\alpha^{2}d\tau</math> |
<center><math>\int\sum Fud\tau=\int\sum\alpha^{2}d\tau,</math></center> |
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{{Br0}}d’où enfin : |
{{Br0}}d’où enfin : |
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{{MathForm1|(4)|<math>J=\int dt\ d\tau\left(\frac{\sum f^{2}}{2}-\frac{\sum\alpha^{2}}{2}\right)</math> |
{{MathForm1|(4)|<math>J=\int dt\ d\tau\left(\frac{\sum f^{2}}{2}-\frac{\sum\alpha^{2}}{2}\right).</math>}} |
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Désormais, et grâce à la relation (3), <math>\delta J</math> est indépendant de <math>\delta F</math> et par conséquent de <math>\delta \alpha</math> |
Désormais, et grâce à la relation (3), <math>\delta J</math> est indépendant de <math>\delta F</math> et par conséquent de <math>\delta \alpha\ ;</math> faisons varier maintenant les autres variables. |
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Il vient, en revenant à l’expression (1) de <math>J</math> |
Il vient, en revenant à l’expression (1) de <math>J,</math> |
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<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left(\sum f\delta f-\sum F\delta u\right)</math> |
<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left(\sum f\delta f-\sum F\delta u\right).</math></center> |
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Mais <math>f |
Mais <math>f, \ g, \ h</math> sont assujettis à la 1{{e|ère}} des conditions (2), de sorte que |
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{{MathForm1|(5)|<math>\sum\frac{d\delta f}{dx}=\delta\rho</math>}} |
{{MathForm1|(5)|<math>\sum\frac{d\delta f}{dx}=\delta\rho,</math>}} |
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{{Br0}}et qu’il convient d’écrire : |
{{Br0}}et qu’il convient d’écrire : |
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{{MathForm1|(6)|<math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum fdf-\sum F\delta u-\psi\left(\sum\frac{d\delta f}{dx}-\delta\rho\right)\right]</math> |
{{MathForm1|(6)|<math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum fdf-\sum F\delta u-\psi\left(\sum\frac{d\delta f}{dx}-\delta\rho\right)\right].</math>}} |
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Les principes du calcul des variations nous apprennent que l’on doit faire le calcul comme si, <math>\psi</math> étant une fonction arbitraire, <math>\delta J</math> était |
Les principes du calcul des variations nous apprennent que l’on doit faire le calcul comme si, <math>\psi</math> étant une fonction arbitraire, <math>\delta J</math> était représenté par l’expression (6) et si les variations n’étaient plus assujetties à la condition (5). |
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Nous avons d’autre part |
Nous avons d’autre part |
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<center><math>\delta u=\frac{d\delta f}{dt}+\delta\rho\xi</math> |
<center><math>\delta u=\frac{d\delta f}{dt}+\delta\rho\xi,</math></center> |
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{{Br0}}d’où, après intégration par parties, |
{{Br0}}d’où, après intégration par parties, |
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