RECHERCHES GÉNÉRALES
SUR
LES SURFACES COURBES,
Par M. GAUSS.
Traduit du latin par M. A.,
Ancien élève de l’École Polytechnique.
PARIS,
BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
du bureau des longitudes, de l’école polytechnique, etc.,
Quai des Augustins, no 55.
1852
RECHERCHES GÉNÉRALES
sur
LES SURFACES COURBES,
Par M. GAUSS.
Traduit du latin par M. A.,
Ancien élève de l’École Polytechnique.
(Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XI.)
I.
Les recherches dans lesquelles on s’occupe des directions de diverses droites dans l’espace sont, la plupart du temps, portées à leur plus haut point d’évidence et de simplicité, si l’on se sert, comme auxiliaire, d’une surface sphérique d’un rayon égal à , décrite autour d’un centre arbitraire, et dont les différents points seront censés représenter les directions des droites parallèles aux rayons terminés à cette surface. La situation de tous les points dans l’espace étant déterminée par trois coordonnées savoir, par les distances à trois plans fixes normaux entre eux, il faut, avant tout, considérer les directions des axes normaux à ces plans : nous désignerons par les points de la surface de la sphère qui représentent ces directions ; leur distance mutuelle sera donc un quadrant. Du reste, nous supposerons les directions des axes allant vers les régions pour lesquelles les coordonnées correspondantes reçoivent un accroissement.
II.
Il ne sera pas inutile de mettre ici sous les yeux quelques propositions qui sont d’un usage fréquent dans les questions de ce genre.
1. L’angle de deux droites qui se coupent a pour mesure l’angle compris entre les points qui, sur la surface de la sphère, répondent à leurs directions.
2. La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan.
4. Désignant par les coordonnées de deux points, par la distance entre ces points, et par le point qui, sur la surface de la sphère, représente la direction de la droite menée du premier point au second, on aura
5. De là on déduit facilement qu’on a, en général,
et, en désignant par un autre point quelconque de la surface de la sphère,
6. Théorème. En désignant par quatre points sur la surface de la sphère, et par l’angle que les arcs forment à leur point de concours, on aura
Démonstration. Dénotons de plus, par la lettre , le point même de concours, et posons
nous avons ainsi :
et, par conséquent,
D’ailleurs, comme il part du point deux branches de chaque grand cercle, il se forme en ce point deux angles, dont l’un est le complément de l’autre à 180 degrés : mais notre analyse montre qu’on doit prendre les branches dont les directions concordent avec le sens de la marche du point vers , et du point vers : ceci compris, on voit en même temps que, les grands cercles concourant en deux points, on peut prendre arbitrairement celui des deux qu’on voudra. Au lieu de l’angle , on peut aussi prendre l’arc compris entre les pôles des grands cercles dont font partie les arcs mais il est évident qu’on doit prendre les pôles qui sont situés semblablement par rapport à ces arcs, c’est-à-dire que les deux pôles soient situés à droite, quand on marche de vers , et de vers , ou bien tous les deux à gauche.
7. Soient trois points sur la surface de la sphère, et posons, pour abréger,
et
Que désigne celui des pôles du grand cercle, dont l’arc fait partie, qui est placé par rapport à cet arc de la même manière que le point est placé par rapport à l’arc Alors on aura, d’après le théorème précédent,
ou, à cause de degrés,
et, de la même manière,
Multipliant ces équations respectivement par et ajoutant, nous obtiendrons, au moyen du second théorème rapporté au no 5,
Il faut maintenant distinguer trois cas. Premièrement, chaque fois que est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc , on aura degrés, et par suite, . Mais quand est situé hors de ce grand cercle, on aura le deuxième cas, s’il est dans le même hémisphère que ; le troisième, s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par les angles de ce triangle et par la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point au côté on aura
, et
le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons
Il est d’ailleurs évident que le premier cas peut être censé compris dans le deuxième ou le troisième, et l’on voit sans embarras que est égal à six fois le volume de la pyramide formée entre les points et le centre de la sphère. Enfin, on tire de là avec la plus grande facilité, que la même expression exprime généralement le volume d’une pyramide quelconque comprise entre l’origine des coordonnées et les points dont sont les coordonnées.
III.
Une surface courbe est dite avoir une courbure continue en un point situé sur elle, si les directions de toutes les droites menées du point à tous les points de la surface infiniment peu distants de , ne s’écartent qu’infiniment peu d’un seul et même plan passant par : ce plan est dit tangent à la surface au point . Si l’on ne peut satisfaire à cette condition en quelque point, la continuité de la courbure est interrompue en cet endroit, comme il arrive, par exemple, au sommet du cône. Les recherches présentes seront restreintes aux surfaces courbes, ou aux portions de surface, pour lesquelles la continuité de courbure n’est nulle part interrompue. Nous observons seulement ici, que les méthodes qui servent à déterminer la position du plan tangent perdent leur valeur pour les points singuliers dans lesquels la continuité de courbure est interrompue, et doivent conduire à des indéterminations.
IV.
La situation d’un plan tangent est connue commodément par la position de la droite qui lui est normale au point cette droite est dite aussi, normale à cette surface courbe. Nous représenterons la direction de cette normale par le point sur la surface de la sphère auxiliaire, et nous poserons
nous désignons par les coordonnées du point Soient, de plus, les coordonnées d’un autre point pris sur la surface courbe ; sa distance infiniment petite au point enfin le point de la surface sphérique représentant la direction de l’élément On aura aussi
et, puisque l’on doit avoir degrés,
De la combinaison de ces équations dérive
On a deux méthodes générales pour montrer le caractère d’une surface courbe. La première méthode se sert de l’équation entre les coordonnées que nous supposerons réduite à la forme où sera fonction des indéterminées Soit la différentielle complète de la fonction
on aura, pour la surface courbe,
et, par suite,
Comme cette équation, de même que celle que nous avons établie plus haut, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments sur la surface courbe, on verra facilement que doivent être proportionnels à et, par suite, comme on aura, ou
ou
La seconde méthode exprime les coordonnées sous forme de fonctions de deux variables et Supposons que, par la différentiation de ces fonctions, il vienne
Par la substitution de ces valeurs dans la formule donnée plus haut, on obtient
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles on devra avoir, évidemment,
d’où nous voyons que doivent être proportionnels aux quantités
Ainsi, en posant, pour abréger,
on aura, ou
ou
À ces deux méthodes générales, vient s’ajouter une troisième, dans laquelle une des coordonnées, par exemple, se présente sous forme de fonction des deux autres Cette méthode n’est évidemment autre chose qu’un cas particulier de la première méthode ou de la seconde. Si l’on pose
on aura, ou
ou
V.
Les deux solutions trouvées dans l’article précédent se rapportent, évidemment, à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées ; ce qui est dans la nature même des choses, puisque l’on peut mener une normale aux deux faces (plagæ) d’une surface courbe. Si l’on veut distinguer entre elles ces deux régions, contiguës à sa surface, et appeler l’une extérieure et l’autre intérieure, nous pourrons attribuer à l’une et à l’autre normale sa solution convenable, au moyen du théorème développé dans le no 7 de l’art. II, et en même temps nous aurons un critérium pour distinguer une région de l’autre.
Dans la première méthode, ce critérium sera donné par le signe de la valeur de la quantité . Généralement parlant, la surface courbe sépare les parties de l’espace pour lesquelles a une valeur positive, des parties pour lesquelles la valeur de devient négative. Mais ce théorème fait voir facilement que si acquiert une valeur positive vers la face extérieure, et que l’on conçoive une normale menée en dehors, on devra adopter la première solution. Du reste, dans chaque cas, on jugera facilement si la même règle pour le signe de a lieu pour la surface entière, ou si elle varie avec les différentes parties. Tant que les coefficients ont des valeurs finies, et ne deviennent pas nuls tous les trois à la fois, la loi de la continuité empêchera toute incertitude.
Si nous suivons la deuxième méthode, nous pouvons concevoir sur la surface courbe deux systèmes de lignes courbes : l’un, pour lequel est variable et constant ; l’autre, pour lequel est variable, constant ; la position mutuelle de ces lignes par rapport à la région extérieure, doit décider laquelle des solutions il faut adopter. Toutes les fois que les trois lignes suivantes, savoir, la branche de la ligne du premier système qui partant de croît avec la branche du second système partant de et croissant avec et la normale menée vers le côté extérieur, sont placées d’une manière semblable à celle des axes des à partir de l’origine des abscisses (par exemple, si, tant pour ces trois lignes que pour les trois autres, on peut concevoir la première dirigée vers la gauche, la deuxième vers la droite, et la troisième de bas en haut), la première solution doit être adoptée ; mais chaque fois que la position mutuelle des trois premières lignes sera opposée à la position mutuelle des trois axes des la seconde solution aura lieu.
Dans la troisième méthode il faut voir si, quand prend un accroissement positif, et ne changeant point, le passage se fait vers la région extérieure ou intérieure. Dans le premier cas, pour la normale dirigée vers l’extérieur, la première solution aura lieu ; dans le second cas, la seconde.
VI.
De même qu’en transportant à la surface de la sphère la direction de la normale à la surface courbe, à chaque point déterminé de cette surface répond un point déterminé de la sphère ; de même aussi une ligne quelconque, ou une figure quelconque sur la première surface, sera représentée par une ligne ou une figure correspondante sur la seconde. Dans la comparaison de deux figures se correspondant de cette manière mutuellement, dont l’une sera comme l’image de l’autre, deux points essentiels sont surtout à considérer ; l’un, quand on n’a égard qu’à la quantité seulement ; l’autre, quand, en faisant abstraction des relations quantitatives, on ne s’attache qu’à la seule position.
Le premier de ces points sera la base de quelques notions, qu’il paraît utile d’admettre dans la doctrine des surfaces courbes. Savoir, à chaque partie de la surface courbe enfermée dans des limites déterminées, nous assignons une courbure totale ou entière, qui est exprimée par l’aire de la figure qui lui correspond sur la surface sphérique. Il faut distinguer avec soin de cette courbure totale, la courbure en quelque sorte spécifique, que nous appellerons mesure de la courbure : cette dernière est rapportée à un point de la surface, et désignera le quotient qu’on obtient quand on divise la courbure totale de l’élément superficiel adjacent au point par l’aire de cet élément, et, par conséquent, indique le rapport des aires infiniment petites qui se correspondent mutuellement sur la surface courbe et sur la surface sphérique. L’utilité de ces innovations sera abondamment justifiée, comme nous l’espérons, par ce que nous expliquerons par la suite. Quant à ce qui regarde la terminologie, nous nous sommes surtout attaché à écarter toute ambiguïté ; c’est pourquoi nous n’avons pas jugé convenable de suivre strictement l’analogie de la terminologie ordinairement adoptée dans la doctrine des lignes courbes planes (quoique non approuvée de tous), suivant laquelle par la mesure de la courbure on eût dû entendre simplement la courbure, et par courbure entière, l’amplitude. Mais pourquoi se montrer difficile sur les mots, pourvu qu’il n’y ait pas vide d’idées, et que la diction ne donne pas lieu à une interprétation erronée ?
La position de la figure sur la surface sphérique peut être semblable ou opposée (inverse) à la position de la figure correspondante sur la surface courbe : le premier cas a lieu, quand deux lignes sur la surface courbe, partant du même point dans des directions différentes, mais non opposées, sont représentées sur la surface de la sphère par des lignes semblablement placées, savoir, quand l’image de la ligne placée à droite est elle-même à droite ; dans le second cas, le contraire a lieu. Nous distinguerons ces deux cas par le signe positif ou négatif de la mesure de la courbure ; mais évidemment cette distinction ne peut avoir lieu qu’autant que sur chaque surface nous prenons une région déterminée, dans laquelle on doit concevoir la figure. Dans la sphère auxiliaire, nous emploierons toujours la face extérieure, opposée au centre ; dans la surface courbe, on peut aussi adopter la face extérieure, ou celle qui est considérée comme extérieure, ou plutôt la région à laquelle on conçoit élevée une normale : car évidemment, par rapport à la similitude des figures, rien n’est changé, si sur la surface courbe on transporte à la région opposée tant la figure que sa normale, pourvu que son image soit toujours peinte dans la même région de la surface sphérique.
Le signe positif ou négatif, que nous avons assigné à la mesure de la courbure pour la position d’une figure infiniment petite, nous l’étendons aussi à la courbure totale d’une figure finie sur la surface courbe. Si cependant nous voulons embrasser cette matière dans toute sa généralité, il est besoin de quelques éclaircissements, que nous ne ferons que toucher ici en passant. Quand la figure sur la surface courbe est de telle nature qu’à chacun des points dans son intérieur répond sur la surface de la sphère un point différent, la définition n’a pas besoin d’explication ultérieure. Mais chaque fois que cette condition n’a pas lieu, il sera nécessaire de faire entrer en compte deux ou plusieurs fois certaines parties de la figure sur la surface sphérique, d’où, pour une position semblable ou opposée, pourra naître une accumulation ou une destruction. Le plus simple, en pareil cas, est de concevoir la figure sur la surface courbe divisée en parties telles, que chacune, considérée isolément, satisfasse à la condition précédente, d’attribuer à chacune d’elles sa courbure totale, en en déterminant la quantité par l’aire de la figure correspondante sur sa surface sphérique, et le signe par la position, et enfin d’assigner à la figure entière la courbure totale provenant de l’addition des courbures totales qui répondent aux différentes parties. Ainsi généralement la courbure totale d’une figure est égale à en dénotant par l’élément de l’aire de la figure, et par la mesure de la courbure en un point quelconque. Quant à ce qui appartient à la représentation géométrique de cette intégrale, ce qu’il y a de principal sur ce sujet revient à ce qui suit. Au contour de la figure sur la surface courbe (sous la restriction de l’art. III) correspondra toujours sur la surface sphérique une ligne revenant sur elle-même. Si elle ne se coupe point elle-même en aucun endroit, elle partagera toute la surface sphérique en deux parties, dont l’une répondra à la figure sur la surface courbe, et dont l’aire (prise positivement ou négativement suivant que par rapport à son contour elle est placée d’une maniére semblable à celle de la figure sur la surface courbe par rapport au sien, ou d’une manière inverse), donnera la courbure totale de cette dernière. Mais chaque fois que cette ligne se coupe elle-même une ou plusieurs fois, elle présentera une figure compliquée, à laquelle cependant on peut attribuer une aire déterminée avec autant de raison qu’aux figures sans nœuds ; et cette aire, comprise comme elle doit l’être, donnera toujours une valeur exacte de la courbure totale. Nous nous réservons cependant de donner à une autre occasion une exposition plus étendue sur le sujet des figures conçues de la manière la plus générale.
VII.
Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par l’aire d’un élément de cette surface, sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées et, par suite, si est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de indiquera que la situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. Ces projections ont donc évidemment entre elles le même rapport quant à la quantité, et aussi le même rapport quant à leur situation, que les éléments eux-mêmes. Considérons maintenant un élément triangulaire sur la surface courbe, et supposons que les coordonnées des trois points, qui forment sa projection, sont
Le double de l’aire de ce triangle sera exprimé par la formule
et sous une forme positive ou négative, suivant que la position du côté qui joint le premier point au troisième par rapport au côté qui joint le premier point au second est semblable, ou opposée à la position de l’axe des coordonnées par rapport à l’axe des coordonnées
Par conséquent, si les coordonnées de trois points, qui forment la projection de l’élément correspondant sur la surface sphérique, prises à partir du centre de la sphère, sont
le double de l’aire de cette projection sera exprimé par
et le signe de cette expression se détermine de la même manière que ci-dessus. Donc la mesure de la courbure en ce lieu de la surface sera
Si nous supposons que la nature de la surface est donnée suivant le troisième mode considéré dans l’article IV, on aura et sous forme de fonctions des quantités et ; d’où
Par la substitution de ces valeurs, l’expression précédente se change en celle-ci :
Posant, comme plus haut,
et de plus,
ou
nous aurons, d’après des formules données plus haut,
et, de là,
ou
et aussi
En substituant ces valeurs dans l’expression précédente,
il vient
VIII.
Par un choix convenable de l’origine et des axes des
coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point
déterminé les valeurs des quantités s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées Si, de plus, on place l’origine en ce point, l’expression des coordonnées acquiert évidemment cette forme,
où sera d’un ordre plus élevé que le second. Faisant ensuite tourner dans leur plan les axes des d’un angle tel qu’on ait
on voit facilement que l’équation prendra cette forme,
et l’on satisfait ainsi à la troisième condition. Cela fait,
on voit que :
1. Si la surface courbe est coupée par un plan normal, et passant par l’axe des coordonnées le rayon de courbure de la section au point sera égal à le signe positif ou négatif indiquant que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la région où les coordonnées sont positives.
2. De la même manière, sera au point le rayon de courbure d’une courbe plane, section de la surface courbe par le plan passant par le plan des
3. En posant on a
d’où l’on conclut que, si la section est faite par un plan normal en à la surface, et faisant avec l’axe des l’angle le rayon de courbure au point sera égal à
4. Chaque fois donc qu’on aura les rayons de
courbure seront égaux dans tous les plans normaux. Mais, si et sont inégaux, il est évident, puisque, pour une valeur quelconque de l’angle tombe entre et que les rayons de courbure dans les sections principales, considérées dans les nos 1 et 2, se rapportent aux courbures extrêmes, savoir : l’un à la courbure maximum, l’autre à la courbure minimum, si et sont affectés du même signe ; et, au contraire, l’un à la plus grande convexité, l’autre à la plus grande concavité, si et ont des signes contraires. Ces conclusions contiennent presque tout ce que l’illustre Euler nous a enseigné le premier sur la courbure des surfaces.
5. La mesure de la courbure de la surface en un point prend l’expression très-simple d’où nous avons :
Théorème. La mesure de la courbure en un point quelconque d’une surface est égale à une fraction, dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le produit des deux rayons de courbures extrêmes dans les sections faites par les plans normaux.
On voit en même temps que la mesure de la courbure est positive pour les surfaces concavo-concaves ou convexo-convexes (ce qui ne fait pas une différence essentielle), et négative pour les concavo-convexes. Si la surface est composée de parties de chaque espèce, sur leurs confins la mesure de la courbure devra s’annuler. On s’étendra plus longuement dans la suite sur la nature des surfaces courbes pour lesquelles la mesure de la courbure est partout nulle.
IX.
La formule générale pour la mesure de la courbure donnée
à la fin de l’art. VII est de toutes la plus simple, puisqu’elle implique seulement cinq éléments ; nous serons conduits à une formule plus compliquée, renfermant neuf éléments, si nous voulons employer la première manière d’exprimer la nature d’une surface[1]. En conservant les notations de l’art. IV, nous poserons, de plus,
de sorte qu’on ait
Comme on a déjà nous trouvons, par la différentiation,
ou, en éliminant à l’aide de l’équation
On obtient, en outre, de la même manière,
Nous tirons de là,
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En substituant ces valeurs dans la formule de l’art. VII,
nous obtenons, pour la mesure de la courbure , l’expression
symétrique suivante,
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X.
On obtiendra une formule encore plus compliquée,
composée de quinze éléments, en suivant la seconde méthode
générale[2] pour exprimer la nature des surfaces
courbes. Il est cependant très-important de l’élaborer
aussi. En conservant les signes de l’art. IV, posons, en
outre,
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Faisons encore, pour abréger,
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On a d’abord
ou
mais aussi, quand est considérée comme fonction de
on a
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Nous tirons de
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Les différentielles complètes de et de sont donc
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Si maintenant, dans ces formules, nous substituons
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et si nous considérons que les valeurs des différentielles
ainsi obtenues, doivent être respectivement égales, indépendamment des différentielles aux quantités nous trouverons, après quelques transformations qui se présentent assez naturellement,
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Si donc, pour abréger, nous posons
(1) |
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(2) |
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(3) |
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on a
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De là , en faisant le développement,
et, par conséquent, la formule, pour la mesure de la
courbure,
XI.
À l’aide de la formule que nous venons de trouver, nous
en établirons une autre, qui doit être rangée parmi les
théorèmes les plus féconds dans la doctrine des surfaces
courbes. Introduisons les notations suivantes :
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(4) |
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(7) |
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(8) |
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(9) |
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Éliminons des équations (1), (4), (7) les quantités
ce que nous ferons en les multipliant par ,
et les ajoutant, il viendra
équation que nous transformons facilement en celle-ci,
De la même manière, l’élimination des quantités ou
des mêmes équations, donne
En multipliant ces trois équations par et les
ajoutant, on obtient
(10) |
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Si nous traitons de la même manière les équations (2),
(5), (8), il vient
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ces équations étant multipliées par leur addition donne
La combinaison de cette equation avec l’équation (10)
donne
Il est évident qu’on a
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ou
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D’ailleurs on peut facilement s’assurer qu’on a
Si nous substituons ces diverses expressions dans la formule que nous avons trouvée à la fin de l’article précédent pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne contient que les seules quantités et leurs quotients différentiels du premier et du second ordre,
XII.
Comme on a
on voit que est l’expression générale de l’élément linéaire sur une surface courbe. L’analyse développée dans l’article précédent nous apprend ainsi que, pour trouver la mesure de la courbure, on n’a
pas besoin des formules finies, qui donnent les coordonnées
comme des fonctions des indéterminées mais qu’il suffit de l’expression générale de la grandeur d’un élément linéaire quelconque. Procédons à quelques applications de cet important théorème.
Supposons que notre surface courbe puisse être développée
sur une autre surface, courbe ou plane, de façon qu’à
chaque point de la première surface, déterminé par les
coordonnées réponde un point déterminé de la seconde surface, dont les coordonnées soient Évidemment pourront aussi être considérées comme des fonctions des indéterminées d’où viendra, pour l’élément l’expression
désignant aussi des fonctions de Mais on voit, par la notion même du développement d’une surface sur une surface, que les éléments correspondants sur les deux surfaces sont nécessairement égaux, et qu’ainsi on a identiquement
donc la formule de l’article précédent conduit spontanément à ce beau théorème :
Théorème. Si une surface courbe est développée sur une autre surface quelconque, la mesure de la courbure
en chaque point reste invariable.
Évidemment aussi, une partie quelconque finie d’une
surface courbe, après son développement sur une autre
surface courbe, conservera la même courbure totale.
Le cas spécial, auquel les géomètres ont restreint jusqu’ici
leurs recherches, consiste dans les surfaces développables
sur un plan. Notre théorie apprend spontanément que la mesure de la courbure de telles surfaces en un point quelconque est zéro ; par conséquent, si leur nature est exprimée suivant la troisième méthode, on aura partout
Ce critérium, quoique bien connu, n’est pas démontré la
plupart du temps, à notre avis du moins, avec la rigueur
qu’on pourrait désirer.
XIII.
Ce que nous avons exposé dans l’article précédent
se rattache à une manière particulière de considérer les
surfaces, digne au plus haut point d’être cultivée avec soin
par les géomètres. Quand l’on considère une surface non
comme la limite d’un solide, mais comme un solide
flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est
regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface
dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit
réduite, en partie sont absolues, et restent invariables,
suivant quelque forme qu’on la fléchisse. C’est à ces dernières
propriétés, dont la recherche ouvre à la géométrie
un champ nouveau et fertile, que doivent être rapportées la
mesure de la courbure et la courbure totale, dans le sens
que nous avons donné à ces expressions ; à elles aussi appartiennent la doctrine des lignes les plus courtes, et la
plus grande partie de ce que nous nous réservons de
traiter plus tard.
Dans ce genre de considérations, une surface plane et
une surface développable sur un plan, par exemple une
surface cylindrique, conique, etc., sont regardées comme
essentiellement identiques, et la manière naturelle d’exprimer
généralement le caractère de la surface ainsi
considérée est toujours fondée sur la formule
qui lie l’élément linéaire aux deux indéterminées Mais, avant de poursuivre ultérieurement ce sujet, il faut s’occuper d’abord des principes de la théorie des lignes
de plus courte distance sur une surface courbe.
XIV.
La nature d’une ligne courbe dans l’espace est donnée
généralement de telle sorte, que les coordonnées
répondant à ses divers points, se présentent sous la forme
de fonctions d’une variable que nous dénoterons par
La longueur d’une telle ligne, depuis un point initial
arbitraire jusqu’au point dont les coordonnées sont
est exprimée par l’intégrale
Si l’on suppose que la position de la ligne courbe
éprouve une variation infiniment petite, de façon quelea
coordonnées des divers points reçoivent les variations
on trouve la variation de toute la longueur
expression que nous changeons en cette forme,
Dans le cas où la ligne est la plus courte entre ses points extrêmes, on sait que tout ce qui se trouve sous le signe intégral doit s’évanouir. Quand la ligne doit être sur une surface donnée par l’équation
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les variations doivent satisfaire aussi à l’équation
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d’où, par des principes connus, on voit facilement que les
différentielles
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doivent être respectivement proportionnelles aux quantités
Soient maintenant l’élément d’une ligne courbe, un point sur la surface de la sphère représentant la direction de cet élément, un point sur la surface de la sphère représentant la direction de la normale à la surface courbe ; soient enfin les coordonnées du point et les coordonnées du point par rapport au centre de la sphère. On aura ainsi
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d’où il résulte que les différentielles ci-dessus deviennent
Et comme les quantités sont proportionnelles à le caractère de la ligne de plus courte distance consiste dans les équations
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Du reste, on voit facilement que est égal, sur la surface sphérique, au petit arc qui mesure l’angle compris entre les directions des tangentes, au commencement et à la fin de l’élément et que, par suite, il est égal à si dénote le rayon de courbure en ce lieu de la courbe la plus courte. On aura ainsi
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XV.
Supposons que sur la surface courbe, il parte d’un point
donné une multitude de courbes de plus courte distance, que nous distinguerons entre elles par l’angle que forme le premier élément de chacune d’elles avec le premier
élément de l’une de ces lignes prise pour la première ;
soient cet angle, ou plus généralement une fonction de cet angle, et la longueur de la ligne la plus courte du point jusqu’au point dont les coordonnées sont
Comme, à des valeurs déterminées des variables répondent des points déterminés de la surface, les coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de Nous conserverons d’ailleurs la même signification que dans l’article précédent aux notations de façon à les rapporter généralement à un point quelconque d’une quelconque des lignes
de plus courte distance.
Toutes les lignes de plus courte distance, qui sont d’une égale longueur se termineront à une autre ligne, dont nous désignerons par la longueur comptée d’une origine arbitraire. On pourra ainsi considérer comme une fonction des indéterminées et si nous désignons par un point sur la surface de la sphère correspondant à la direction de l’élément et par les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons
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De là et de
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il suit
Désignons le premier membre de cette équation, qui
sera aussi fonction de par sa différentiation suivant
donne
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Mais par suite, sa différentielle est égale à zéro, et, par l’article précédent, nous avons, si désigne toujours le rayon de courbure dans la ligne
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Nous obtenons ainsi
puisque est situé sur le grand cercle dont le pôle est . De là nous concluons que est indépendant de et, par conséquent, fonction seulement de ; mais pour il est évident qu’on a par conséquent aussi et indépendamment de .
Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement
et aussi c’est-à-dire De là
nous tirons :
Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe
d’un même point initial une multitude de lignes de plus
courte distance de même longueur, la ligne qui joindra
leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.
Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété
fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste,
on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par
le raisonnement suivant : Soient deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément avec les lignes , diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en et prenons sur la ligne un point , tel qu’on ait
Comme on peut considérer le triangle infiniment petit
comme plan, on aura
et, par suite,
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c’est-à-dire le passage du point à par le point plus court que la ligne de plus courte distance ; ce qui est absurde.
XVI.
Au théorème de l’article précédent, nous associons un autre théorème, que nous énonçons ainsi : Si, sur une surface courbe, on conçoit une ligne quelconque, de chacun des points de laquelle partent, sous des angles droits et vers la même région, une quantité innombrable de lignes de plus courte distance de même longueur, la courbe qui joindra leurs autres extrémités, les coupera toutes sous des angles droits. Pour le démontrer, on n’a rien à changer à l’analyse précédente, si ce n’est que doit désigner la longueur de la courbe donnée comptée d’un point arbitraire, ou, si l’on aime mieux, une fonction de cette longueur. Ainsi, tous les raisonnements auront également lieu, avec cette modification, que la vérité de l’équation pour est maintenant comprise dans l’hypothèse même. Du reste, cet autre théorème est plus général que le précédent, qu’il peut aussi être censé comprendre, si pour ligne donnée nous adoptons un
cercle infiniment petit décrit autour de comme centre. Enfin, nous avertissons qu’ici encore des considérations géométriques peuvent tenir lieu de l’analyse. Comme elles se présentent assez naturellement, nous ne nous y
arrêterons pas.
XVII.
Revenons à la formule
qui exprime généralement la grandeur de l’élément linéaire
sur une surface courbe, et, avant tout, examinons la signification géométrique des coefficients Déjà, dans l’art. V, nous avons averti qu’on peut concevoir, sur la surface courbe, deux systèmes de lignes : l’un, pour lequel seul est variable, constant ; l’autre, dans lequel seul est variable, constant. Un point quelconque de la surface peut donc être considéré comme l’intersection d’une ligne du premier système avec une ligne du second ; et alors l’élément de la première ligne adjacente à ce point, et répondant à la variation sera égal à
et l’élément de la seconde ligne répondant à la variation
sera égal à enfin, en désignant par l’angle compris entre ces éléments, on voit facilement que Et l’aire de l’élément du parallélogramme
compris sur la surface courbe entre deux lignes du premier
système, auxquelles répondent et deux
lignes du second système, auxquelles répondent sera
Une ligne quelconque sur la surface courbe, n’appartenant à aucun de ces systèmes, prend naissance quand et sont regardés comme fonctions d’une variable
nouvelle, ou l’une comme fonction de l’autre. Soit la longueur d’une telle courbe comptée d’une origine
arbitraire, et vers une direction quelconque regardée comme positive. Désignons par l’angle fait par l’élément avec une ligne du premier système menée par l’origine de l’élément, et, pour ne laisser aucune ambiguïté, nous supposerons que cet
angle part toujours de cette branche de la ligne pour laquelle
les valeurs de augmentent, et qu’on le prend positivement du côté vers lequel les valeurs de augmentent. Cela ainsi compris, on voit facilement qu’on a
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XVIII.
Nous chercherons maintenant quelle est la condition pour que cette ligne soit la plus courte. Puisque la longueur de est exprimée par l’intégrale
la condition du minimum exige que la variation de cette
intégrale, venant d’un changement infiniment petit dans
la situation de cette ligne, devienne zéro. Le calcul, pour
cette recherche, se fait plus commodément dans ce cas,
si nous considérons comme fonction de Cela fait, si la variation est désignée par la caractéristique , nous avons
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et l’on sait que l’expression sous le signe intégral doit
s’évanouir indépendamment de On a ainsi
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De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équation de condition suivante :
qu’on peut aussi écrire ainsi :
Du reste, à l’aide de l’équation
on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre et qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente.
XIX.
Les formules générales que nous avons trouvées pour
la mesure de la courbure et pour la variation de direction
de la ligne de plus courte distance dans les
art. XI, XVIII, deviennent beaucoup plus simples, si les
quantités sont choisies de telle sorte que les lignes
du premier système coupent toujours orthogonalement
les lignes du second système, c’est-à-dire de telle sorte,
qu’on ait généralement ou Alors on a,
pour la mesure de la courbure,
et, pour la variation de l’angle
Parmi les divers cas dans lesquels a lieu cette condition
d’orthogonalité, tient le premier rang celui où toutes les
lignes de l’un ou l’autre système, par exemple du premier,
sont des lignes de plus courte distance. Là, en effet,
pour une valeur constante de l’angle devient zéro ; d’où l’équation qu’on vient de donner pour la variation de montre qu’on doit avoir ou que le coefficient doit être indépendant de c’est-à-dire que doit être ou constant ou fonction seulement de Le plus simple sera d’adopter pour la longueur même de chaque ligne du premier système, et même chaque fois que toutes les lignes du premier système concourent en un point, de compter cette longueur de ce point, ou, s’il n’y a pas de commune intersection, d’une ligne quelconque du second système. Ceci compris, on voit que et désignent maintenant les mêmes quantités que, dans les art. XV, XVI, nous avions exprimées par et , et qu’on Ainsi, les deux formules précédentes se transforment en celles-ci :
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ou, en posant
Généralement parlant, m sera fonction de et l’expression de l’élément d’une ligne quelconque, du second système. Mais dans le cas particulier où toutes les lignes partent du même point, évidemment, pour on doit avoir donc si, dans ce cas, nous adoptons pour l’angle même que le premier élément d’une ligne quelconque du premier système fait avec l’élément de l’une d’elles arbitrairement choisie, comme pour une valeur
infiniment petite de l’élément d’une ligne du second système (qu’on peut considérer comme un cercle décrit
du rayon ), est égal on aura, pour une valeur infiniment petite de et ainsi, pour on aura en même temps et
XX.
Arrêtons-nous encore à la même supposition, savoir,
que désigne la longueur de la ligne la plus courte, menée d’un point déterminé à un point quelconque de la surface, et l’angle que le premier élément de cette ligne fait avec le premier élément d’une autre ligne donnée de plus courte distance, partant de . Soient un point déterminé sur cette ligue pour laquelle et un autre point déterminé de la surface, pour lequel nous désignerons simplement par la valeur de . Supposons les points et joints par la ligne la plus courte, dont les parties, comptées du point seront désignées, comme dans
l’art. XVIII, par et, comme dans ce même article,
désignera l’angle qu’un élément quelconque ds fait avec l’élément soient enfin les valeurs de
l’angle aux points et . Nous avons ainsi sur la surface courbe un triangle formé par des lignes de plus courte distance, dont les angles en et , que nous désignerons simplement par ces mêmes lettres, seront égaux, l’un au complément de à 180 degrés, l’autre à l’angle .
Mais comme il est facile de voir, par notre analyse, que
tous les angles sont exprimés, non en degrés, mais en
nombres, de façon que l’angle auquel correspond
l’arc égal au rayon, est pris pour unité, on doit
poser, en désignant par la circonférence du cercle,
Cherchons maintenant la courbure totale de ce triangle,
qui est égale à désignant l’élément superficiel du triangle ; et comme cet élément est exprimé par il faut prendre l’intégrale pour toute la surface du triangle. Commençons par l’intégration suivant
laquelle, à cause de donne pour la courbure totale de l’aire située entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de
la seconde indéterminée Comme cette courbure doit devenir nulle pour la quantité constante introduite par l’intégration doit être égale à la valeur de pour c’est-à-dire à l’unité. Nous avons ainsi où il faut prendre pour la valeur correspondante à la fin de cette aire sur la ligne . Mais, dans cette ligne, on a, par le paragraphe précédent,
d’où notre expression se change en Par une
seconde intégration prise depuis jusqu’à
nous obtenons la courbure totale du triangle
La courbure totale est égale à l’aire de cette partie de la
surface sphérique qui correspond au triangle, affectée du
signe positif ou négatif, suivant que la surface courbe, sur
laquelle est situé le triangle, est concavo-concave ou concavo-convexe ;
pour unité d’aire, on doit prendre le carré,
dont le côté est l’unité (le rayon de la sphère), et, par
suite, la surface totale de la sphère égale La partie de
la surface sphérique correspondante au triangle est ainsi,
à la surface entière de la sphère, comme est à Ce théorème, qu’on doit regarder, si nous ne
nous trompons, comme un des plus élégants de la théorie
des surfaces courbes, peut aussi être énoncé de la manière
suivante :
L’excès sur 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-concave par des lignes de plus courte distance, ou la différence à 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-convexe par des lignes de plus courte distance, a pour mesure l’aire de la partie de la surface sphérique qui correspond à ce triangle, par les directions des normales, pourvu qu’on égale la surface entière à 720 degrés.
Plus généralement, dans un polygone quelconque de
côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance,
l’excès de la somme des angles sur droits,
ou la différence à droits (suivant la nature de la surface courbe), est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone
en triangles.
XXI.
Rendons aux lettres les significations
générales que nous leur avions données plus haut, et supposons,
en outre, que la nature de la surface courbe est
déterminée d’une manière semblable par deux autres
variables dans laquelle l’élément linéaire s’exprime
par
Ainsi, à un point quelconque de la surface défini par des
valeurs déterminées des variables répondront des
yaleurs déterminées des variables celles-ci seront donc fonctions de et nous supposerons qu’on obtient, par leur différentiation,
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Proposons-nous de chercher la signification géométrique de ces coefficients
On peut ainsi concevoir maintenant sur la surface courbe
quatre systèmes de lignes pour lesquelles sont respectivement constantes. Si par le point déterminé auquel répondent les valeurs des variables, nous supposons qu’on mène quatre lignes appartenant à chacun de ces systèmes, aux variations positives répondront les éléments
Nous désignerons les angles que les directions de ces éléments font avec une direction fixe arbitraire, par en comptant dans le sens où est placée la seconde par rapport à la première, de façon que soit une quantité positive : nous supposerons (ce qui est permis) que la quatrième est placée dans le même sens par rapport à la troisième, de façon que soit aussi une quantité positive. Cela compris ainsi, si nous
considérons un autre point, infiniment peu distant du premier, auquel correspondent les valeurs des variables, avec un peu d’attention
nous reconnaîtrons qu’on a en général, c’est-à-dire indépendamment des valeurs des variations
puisque chacune de ces expressions n’est autre chose que
la distance du nouveau point à la ligne à partir de laquelle
commencent les angles des directions. Mais nous avons, par la notation déjà introduite plus haut, et, par analogie, nous poserons et, de plus, L’équation que nous venons de trouver peut ainsi se mettre sous la forme suivante :
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ou sous celle-ci :
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Et comme l’équation doit évidemment être indépendante de la direction initiale, on peut prendre celle-ci à volonté.
En posant ainsi dans la seconde forme ou dans la
première nous obtenons les équations suivantes :
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comme ces équations doivent être identiques avec celles-ci,
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elles donneront la détermination suivante des coefficients
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On doit leur adjoindre les équations
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Par suite, les quatre equations peuvent aussi être présentées
ainsi :
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Comme, par les substitutions
le trinôme
doit se changer en on obtient
facilement
et comme, vice versâ, le second trinôme doit se changer
de nouveau dans le premier par la substitution
nous trouvons
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XXII.
Descendons de la recherche générale de l’article précédent
à l’application très-large dans laquelle, en laissant
encore à et leur signification la plus générale, nous
adoptons pour les quantités désignées dans l’art. XV
par (lettres dont nous nous servirons ici aussi),
de sorte que, pour un point quelconque de la surface,
soit la plus courte distance à un point déterminé, et l’angle en ce point entre le premier élément de et
une direction fixe. Nous avons ainsi degrés ;
ous poserons, de plus,
de sorte que l’élément linéaire quelconque devienne
Par suite, les quatre équations trouvées dans
l’article précédent pour donnent :
(1) |
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(2) |
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(3) |
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(4) |
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Mais la dernière et l’avant-dernière donnent
(5) |
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(6) |
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C’est de ces équations qu’on doit tirer la détermination
des quantités et (si besoin est) en et savoir :
l’intégration de l’équation (5) donnera et, ceci
trouvé, l’intégration de l’équation (6) donnera et l’une
ou l’autre des équations (1), (2), enfin, on aura par
l’une ou l’autre des équations (3), (4).
L’intégration générale des équations (5), (6) doit nécessairement
introduire deux fonctions arbitraires, et
nous comprendrons facilement leur signification, si nous
faisons attention que ces équations ne sont pas limitées
au cas que nous considérons ici, mais qu’elles ont encore
lieu, si l’on prend et dans la signification générale de l’art. XVI, de façon que soit la longueur de la ligne la plus courte menée normalement à une ligne arbitraire
déterminée, et une fonction arbitraire de la partie de la ligne qui est interceptée entre la ligne indéfinie
de plus courte distance, et un point arbitraire déterminé.
La solution générale doit ainsi embrasser tout cela d’une
manière indéfinie, et les fonctions arbitraires deviendront
définies, quand cette ligue arbitraire et la fonction
des parties que doit donner sont assignées. Dans notre cas, on peut adopter un cercle infiniment petit, ayant
son centre au point d’où l’on compte les distances et désignera les parties mêmes de ce cercle divisées par le rayon ; d’où l’on conclut facilement que les équations (5) et (6) suffisent complètement pour notre cas, pourvu que ce qu’elles laissent indéfini soit assujetti à cette condition, que et conviennent pour ce point initial, et
pour les points qui en sont infiniment peu distants.
D’ailleurs, pour ce qui regarde l’intégration même des
équations (5), (6), on sait qu’elle peut se réduire à l’intégration d’équations aux différentielles partielles ordinaires, qui cependant sont la plupart des temps si compliquées, qu’il y a peu d’avantage à en tirer. Au contraire,
le développement en séries qui suffisent abondamment
aux besoins de la pratique, tant qu’il ne s’agit que de
parties médiocres de la surface, n’est sujet à aucunes difficultés,
et les formules rapportées ouvrent ainsi une
source féconde pour la solution d’un grand nombre de
problèmes très-importants. Mais, en cet endroit, nous ne
développerons qu’un seul exemple pour montrer le caractère
de la méthode.
XXIII.
Nous considérerons le cas où toutes les lignes pour lesquelles
est constant sont des lignes de plus courte lance, coupant orthogonalement la ligne pour laquelle
et que nous pourrons regarder comme ligne des abscisses. Soient le point pour lequel un point quelconque sur la ligne des abscisses, un point quelconque sur la ligne de plus courte distance normale à en , et de façon qu’on puisse considérer comme l’abscisse, comme l’ordonnée du point nous prenons les abscisses positives sur la branche de la ligne des abscisses à laquelle répond tandis que nous regardons toujours comme une quantité positive ; nous prenons les ordonnées positives dans la région où est compris entre et 180 degrés.
Par le théorème de l’art. XVI, nous aurons et nous poserons de plus sera ainsi fonction de et et telle que pour elle doit être égale à L’application à notre cas de la formule rapportée dans l’art. XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une
ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout
, on voit que, pour on doit avoir partout
. De là donc nous concluons que, si est développée
en série suivant les puissances croissantes de elle
doit avoir la forme suivante :
où seront fonctions de et nous poserons
ou
XXIV.
Les équations de l’art. XXII donnent, dans le cas dont nous nous occupons,
À l’aide de ces équations, dont la cinquième et la sixième
sont déjà comprises dans les autres, on pourra développer
les séries pour ou pour des fonctions quelconques de ces quantités ; nous allons traiter ici celles qui sont les plus dignes d’attention.
Comme, pour des valeurs infiniment petites de on doit avoir la série pour commencera par les termes nous obtiendrons les termes d’un ordre plus élevé par la méthode des coefficients indéterminés[3], à l’aide de l’équation
savoir :
[1]
Nous avons ensuite, au moyen de la formule
[2]
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et, par la formule
[3]
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L’une et l’autre formule font connaître l’angle Ensuite,
quant au calcul de l’angle les séries pour
se développent très-élégamment au moyen des équations
aux différentielles partielles,
dont la combinaison donne
On tire de là facilement, pour calculer des séries dont les premiers termes doivent être évidemment et , savoir :
[4]
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[5]
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En combinant les équations [2], [3], [4], [5], on peut
obtenir une série pour calculer divisant
cette série par la série [1] qui donne on aura
et, par conséquent, aussi développé en série. On
peut cependant obtenir cette même série plus élégamment
de la manière suivante. En différentiant la première
et la seconde des équations qui sont rapportées au commencement
de cet article, nous obtenons
combinant cette équation avec celle-ci,
il vient
De cette équation, à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, nous tirerons facilement la série suivante pour si nous faisons attention que son premier terme doit être le rayon étant pris pour unité, et désignant la circonférence du cercle,
[6]
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Il nous paraît utile de développer aussi en série l’aire du triangle . Nous nous servirons, pour ce développement, de l’équation de condition suivante, qui dérive facilement de considérations géométriques assez naturelles, et dans laquelle désigne l’aire cherchée,
l’intégration commençant à De là, en effet, nous
obtenons, par la méthode des coefficients indéterminés,
[7]
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XXV.
Des formules de l’article précédent, qui se rapportent au triangle rectangle formé par des lignes de plus courte distance, passons à quelque chose de plus général. Soit sur la même ligne de plus courte distance , un autre point pour lequel ne change pas, et les lettres désignent pour le point les mêmes choses que pour le point On forme ainsi, entre les points un triangle dont nous désignons les angles par les côtés opposés par l’aire par nous exprimerons la mesure de la courbure aux points respectivement par Supposant donc (ce qui est permis) que les quantités sont positives, nous avons
Avant tout, exprimons l’aire en série. En changeant dans la série [7] chacune des quantités relatives à dans celles qui se rapportent à il vient cette série pour développée jusqu’aux quantités du sixième ordre,
Cette formule, à l’aide de la série [2], savoir,
se change dans la suivante :
La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où étaient ce que sont ici )
De là, quand se rapportent au point ,
et aussi
En introduisant ces mesures de courbure dans la série
pour nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement),
La précision restera la même, si pour nous substituons cela fait, il vient
[8]
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Comme tout ce qui se rapporte à la ligne menée normalement à a disparu de cette équation, on pourra permuter aussi entre eux les points avec leurs corrélatifs ; c’est pourquoi on aura, avec la même précision,
[9]
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[10]
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XXVI.
La considération du triangle plan rectiligne, dont l.es
côtés sont égaux à est d’une grande utilité ; les angles de ce triangle, que nous désignerons par différent des angles du triangle sur la surface courbe, savoir, de de quantités du second ordre, et il sera essentiel de développer avec soin ces différences. Mais il suffira d’avoir posé les premières bases de ces calculs plus prolixes que difficiles.
En changeant dans les formules [1], [4], [5] les quantités
qui se rapportent à en celles qui se rapportent à nous trouverons des formules pour Alors le développement de l’expression
qui devient
combinée avec le développement de l’expression
qui devient donne la formule suivante :
De là vient aussi, jusqu’aux quantités du cinquième
ordre,
En combinant cette formule avec celle-ci,
et avec les valeurs des quantités rapportées dans l’article précédent, nous obtenons jusqu’aux quantités du cinquième ordre,
[11]
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Par des opérations tout à fait semblables, nous trouvons
[12]
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[13]
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De là nous déduisons en même temps, puisque la somme
est égale à deux droits, l’excès de la somme sur deux angles droits, savoir :
[14]
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Cette dernière formule pourrait aussi se déduire de la
formule [6],
XXVII.
Si la surface courbe est une sphère dont le rayon égale 1, on aura
ou
Par là, la formule [14] devient
et jouit d’une précision absolue ; mais les formules [11],
[12], [13] donnent
ou, avec la même exactitude,
En négligeant les quantités du quatrième ordre, on tire
de là le théorème connu proposé, pour la première fois,
par l’illustre Legendre.
XXVIII.
Nos formules générales, en rejetant les termes du quatrième ordre, deviennent très-simples, savoir :
Ainsi, il faut appliquer à des réductions inégales, quand ils ne sont pas sur une surface sphérique, pour que les sinus des angles dans lesquels ils ont été changés soient proportionnels aux côtés opposés. L’inégalité, généralement parlant, sera du troisième ordre ; mais, si la surface diffère peu de la sphère, cette inégalité se rapportera à un ordre supérieur. Dans les triangles même les plus grands sur la surface de la terre, dont on peut mesurer les angles, la différence peut toujours être regardée comme insensible. Ainsi, par exemple, dans le triangle le plus grand parmi ceux que nous avons mesurés l’année précédente, savoir, entre les points Hohehagen, Broken, Inselsberg, où l’excès de la somme des angles fut égale à le calcul donna les réductions suivantes à appliquer aux angles :
XXIX.
Pour finir, nous ajouterons encore la comparaison de l’aire du triangle sur la surface courbe avec l’aire du triangle rectiligne, dont les côtés sont Nous désignerons par cette dernière aire, qui est égale à
Nous avons, jusqu’aux quantités du quatrième ordre,
ou, avec la même exactitude,
Substituant cette valeur dans la formule [9], on aura jusqu’aux
quantités du sixième ordre,
ou, avec la même exactitude,
Pour la surface sphérique, cette formule prend la forme
suivante :
à la place de laquelle on peut prendre aussi la suivante,
en conservant la même précision, comme il est facile de
vérifier,
Si l’on applique la même formule aux triangles sur
une surface courbe non sphérique, l’erreur sera, généralement
parlant, du cinquième ordre, mais insensible dans tous les triangles qu’on peut mesurer sur la surface de la
terre.
Note. Des fautes typographiques et quelques erreurs de calcul se sont
glissées dans le Mémoire original. Nous les avons corrigées et nous nous
sommes servi des corrections que M. Bos, élève de l’École Normale, aujourd’hui
professeur au lycée de Strasbourg, a eu la bonté de nous communiquer.
Le Mémoire fait partie du tome VI des Nouveaux Mémoires de la Société royale des Sciences de Göttingue ; on le trouve à la page 99 de ce
tome qui a paru en 1828. Il est réimprimé dans l’Application de l’Analyse
de Monge, édition de 1850. On a traduit sur cette réimpression.