Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXIX

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 58-60).

XXIX.

Pour finir, nous ajouterons encore la comparaison de l’aire du triangle sur la surface courbe avec l’aire du triangle rectiligne, dont les côtés sont $a,b,c.$ Nous désignerons par $\sigma ^{*}$ cette dernière aire, qui est égale à

${\frac {1}{2}}bc\ \sin \mathrm {A} ^{*}\ =\ {\frac {1}{2}}ac\ \sin \mathrm {B} ^{*}\ =\ {\frac {1}{2}}ab\ \sin \mathrm {C} ^{*}.$

Nous avons, jusqu’aux quantités du quatrième ordre,

$\sin \mathrm {A} ^{*}=\sin \mathrm {A} -{\frac {1}{12}}\sigma \cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma ),$

ou, avec la même exactitude,

$\sin \mathrm {A} =\sin \mathrm {A} ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}bc\cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma )\right].$

Substituant cette valeur dans la formule [9], on aura jusqu’aux quantités du sixième ordre,

$\sigma ={\frac {1}{2}}bc\sin \mathrm {A} ^{*}\left\{{\begin{alignedat}{3}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ (3b^{2}+3c^{2}-2bc\cos \mathrm {A} )\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ (3b^{2}+4c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} )\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ (4b^{2}+3c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} )\end{alignedat}}\right\},$

ou, avec la même exactitude,

$\sigma =\sigma ^{*}\left\{{\begin{alignedat}{3}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ (a^{2}+2b^{2}+2c^{2})+{\frac {1}{120}}\ \beta \ (2a^{2}+b^{2}+2c^{2})\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ (2a^{2}+2b^{2}+c^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Pour la surface sphérique, cette formule prend la forme suivante :

$\sigma =\sigma ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}\alpha (a^{2}+b^{2}+c^{2})\right],$

à la place de laquelle on peut prendre aussi la suivante, en conservant la même précision, comme il est facile de vérifier,

$\sigma =\sigma ^{*}{\sqrt {\frac {\sin \mathrm {A} \ .\sin \mathrm {B} \ .\sin \mathrm {C} \;}{\sin \mathrm {A} ^{*}.\sin \mathrm {B} ^{*}.\sin \mathrm {C} ^{*}}}}.$

Si l’on applique la même formule aux triangles sur une surface courbe non sphérique, l’erreur sera, généralement parlant, du cinquième ordre, mais insensible dans tous les triangles qu’on peut mesurer sur la surface de la terre.

Note. Des fautes typographiques et quelques erreurs de calcul se sont glissées dans le Mémoire original. Nous les avons corrigées et nous nous sommes servi des corrections que M. Bos, élève de l’École Normale, aujourd’hui professeur au lycée de Strasbourg, a eu la bonté de nous communiquer. Le Mémoire fait partie du tome VI des Nouveaux Mémoires de la Société royale des Sciences de Göttingue ; on le trouve à la page 99 de ce tome qui a paru en 1828. Il est réimprimé dans l’Application de l’Analyse de Monge, édition de 1850. On a traduit sur cette réimpression.