Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XX

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 39-41).

XX.

Arrêtons-nous encore à la même supposition, savoir, que $p$ désigne la longueur de la ligne la plus courte, menée d’un point déterminé $\mathrm {A}$ à un point quelconque de la surface, et $q$ l’angle que le premier élément de cette ligne fait avec le premier élément d’une autre ligne donnée de plus courte distance, partant de $\mathrm {A}$. Soient $\mathrm {B}$ un point déterminé sur cette ligue pour laquelle $q=0,$ et $\mathrm {C}$ un autre point déterminé de la surface, pour lequel nous désignerons simplement par $\mathrm {A}$ la valeur de $q$. Supposons les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ joints par la ligne la plus courte, dont les parties, comptées du point $\mathrm {B} ,$ seront désignées, comme dans l’art. XVIII, par $s,$ et, comme dans ce même article, $\theta$ désignera l’angle qu’un élément quelconque ds fait avec l’élément $dp\ ;$ soient enfin $\theta ^{\circ },\ \theta '$ les valeurs de l’angle $\theta$ aux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$. Nous avons ainsi sur la surface courbe un triangle formé par des lignes de plus courte distance, dont les angles en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$, que nous désignerons simplement parces mêmes lettres, seront égaux, l’un au complément de $\theta ^{\circ }$ à 180 degrés, l’autre à l’angle $\theta '$. Mais comme il est facile de voir, par notre analyse, que tous les angles sont exprimés, non en degrés, mais en nombres, de façon que l’angle $57^{\circ }17^{\prime }45^{\prime \prime },$ auquel correspond l’arc égal au rayon, est pris pour unité, on doit poser, en désignant par $2\pi$ la circonférence du cercle,

$\theta ^{\circ }=\pi -\mathrm {B} ,\qquad \theta '=\mathrm {C} .$

Cherchons maintenant la courbure totale de ce triangle, qui est égale à $\int kd\sigma ,\ d\sigma$ désignant l’élément superficiel du triangle ; et comme cet élément est exprimé par $mdp.dq,$ il faut prendre l’intégrale $\iint kmdp.dq$ pour toute la surface du triangle. Commençons par l’intégration suivant $p,$ laquelle, à cause de $k=-{\frac {1}{m}}{\frac {d^{2}m}{dp^{2}}},$ donne $dq.\left({\text{const. }}-{\frac {dm}{dp}}\right)$ pour la courbure totale de l’aire située entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de la seconde indéterminée $q,\ q+dq.$ Comme cette courbure doit devenir nulle pour $p=0,$ la quantité constante introduite par l’intégration doit être égale à la valeur de ${\frac {dm}{dp}}$ pour $p=0,$ c’est-à-dire à l’unité. Nous avons ainsi $dq.\left(1-{\frac {dm}{dp}}\right),$ où il faut prendre pour ${\frac {dm}{dp}}$ la valeur correspondante à la fin de cette aire sur la ligne $\mathrm {CB}$. Mais, dans cette ligne, on a, par le paragraphe précédent,

${\frac {dm}{dp}}.dq=-d\theta ,$

d’où notre expression se change en $dq+d\theta .$ Par une seconde intégration prise depuis $q=0$ jusqu’à $q=\mathrm {A} ,$ nous obtenons la courbure totale du triangle

$=\mathrm {A} +\theta '-\theta ^{\circ }\ =\ \mathrm {A} \ +\ \mathrm {B} \ +\ \mathrm {C} \ -\ \pi .$

La courbure totale est égale à l’aire de cette partie de la surface sphérique qui correspond au triangle, affectée du signe positif ou négatif, suivant que la surface courbe, sur laquelle est situé le triangle, est concavo-concave ou concavo-convexe ; pour unité d’aire, on doit prendre le carré, dont le côté est l’unité (le rayon de la sphère), et, par suite, la surface totale de la sphère égale $4\pi .$ La partie de la surface sphérique correspondante au triangle est ainsi, à la surface entière de la sphère, comme $\pm (\mathrm {A+B+C} -\pi )$ est à $4\pi .$ Ce théorème, qu’on doit regarder, si nous ne nous trompons, comme un des plus élégants de la théorie des surfaces courbes, peut aussi être énoncé de la manière suivante :

L’excès sur 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-concave par des lignes de plus courte distance, ou la différence à 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-convexe par des lignes de plus courte distance, a pour mesure l’aire de la partie de la surface sphérique qui correspond à ce triangle, par les directions des normales, pourvu qu’on égale la surface entière à 720 degrés.

Plus généralement, dans un polygone quelconque de $n$ côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur $(2n-4)$ droits, ou la différence à $(2n-4)$ droits (suivant la nature de la surface courbe), est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles.