Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XIV

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 29-31).

XIV.

La nature d’une ligne courbe dans l’espace est donnée généralement de telle sorte, que les coordonnées $x,\ y,\ z$ répondant à ses divers points, se présentent sous la forme de fonctions d’une variable que nous dénoterons par $w.$ La longueur d’une telle ligne, depuis un point initial arbitraire jusqu’au point dont les coordonnées sont $x,\ y,\ z$ est exprimée par l’intégrale

$\int dw.{\sqrt {\left({\frac {dx}{dw}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dw}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dw}}\right)^{2}}}.$

Si l’on suppose que la position de la ligne courbe éprouve une variation infiniment petite, de façon quelea coordonnées des divers points reçoivent les variations $\delta x,$ $\delta y,\ \delta z,$ on trouve la variation de toute la longueur

$=\int {\frac {dx.d\delta x+dy.d\delta y+dz.d\delta z}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

expression que nous changeons en cette forme,

${\frac {dx.\delta x+dy.\delta y+dz.\delta z}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

$-\int \left\{{\begin{aligned}\delta x.d{\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}&+\delta y.d{\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}\\&+\delta z.d{\frac {dz}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}.\end{aligned}}\right\}$

Dans le cas où la ligne est la plus courte entre ses points extrêmes, on sait que tout ce qui se trouve sous le signe intégral doit s’évanouir. Quand la ligne doit être sur une surface donnée par l’équation

$\mathrm {P} dx$

$+\ \mathrm {Q} dy$

$+\ \mathrm {R} dz$

$=\ 0,$

les variations $\delta x,\ \delta y,\ \delta z$ doivent satisfaire aussi à l’équation

$\mathrm {P} \delta x$

$+\ \mathrm {Q} \delta y$

$+\ \mathrm {R} \delta z$

$=\ 0\ ;$

d’où, par des principes connus, on voit facilement que les différentielles

$d.{\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},\quad d.{\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},\quad d.{\frac {dz}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

doivent être respectivement proportionnelles aux quantités $\mathrm {P,\ Q,\ R} .$ Soient maintenant $dr$ l’élément d’une ligne courbe, $\lambda$ un point sur la surface de la sphère représentant la direction de cet élément, $\mathrm {L}$ un point sur la surface de la sphère représentant la direction de la normale à la surface courbe ; soient enfin $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ les coordonnées du point $\lambda ,$ et $\mathrm {X,\ Y,\ Z}$ les coordonnées du point $\mathrm {L}$ par rapport au centre de la sphère. On aura ainsi

$dx=\xi dr,\qquad dy=\eta dr,\qquad dz=\zeta dr\,;$

d’où il résulte que les différentielles ci-dessus deviennent $d\xi ,\ d\eta ,\ d\zeta .$ Et comme les quantités $\mathrm {P,\ Q,\ R}$ sont proportionnelles à $\mathrm {X,\ Y,\ Z} ,$ le caractère de la ligne de plus courte distance consiste dans les équations

${\frac {}{}}$

${\frac {d\xi }{\mathrm {X} }}$

$\ ={\frac {d\eta }{\mathrm {Y} }}\ =\,$

${\frac {d\zeta }{\mathrm {Z} }}.$

Du reste, on voit facilement que ${\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}}$ est égal, sur la surface sphérique, au petit arc qui mesure l’angle compris entre les directions des tangentes, au commencement et à la fin de l’élément $dr,$ et que, par suite, il est égal à ${\frac {dr}{\rho }},$ si $\rho$ dénote le rayon de courbure en ce lieu de la courbe la plus courte. On aura ainsi

$\rho d\xi \ =\ \mathrm {X} dr,$

$\qquad \rho d\eta \ =\ \mathrm {Y} dr,\qquad$

$\rho d\zeta \ =\ \mathrm {Z} dr.$