Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre VII

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 15-18).

VII.

Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par $d\sigma$ l’aire d’un élément de cette surface, $\mathrm {Z} d\sigma$ sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées $x,\,y\,;$ et, par suite, si $d\Sigma$ est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, $\mathrm {Z} d\Sigma$ sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de $\mathrm {Z}$ indiquera que la situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. Ces projections ont donc évidemment entre elles le même rapport quant à la quantité, et aussi le même rapport quant à leur situation, que les éléments eux-mêmes. Considérons maintenant un élément triangulaire sur la surface courbe, et supposons que les coordonnées des trois points, qui forment sa projection, sont

${\begin{array}{ll}x,&y,\\x+dx,&y+dy,\\x+\delta x,&y+\delta y,\\\end{array}}$

Le double de l’aire de ce triangle sera exprimé par la formule

$dx.\delta y-dy.\delta x,$

et sous une forme positive ou négative, suivant que la position du côté qui joint le premier point au troisième par rapport au côté qui joint le premier point au second est semblable, ou opposée à la position de l’axe des coordonnées $y,$ par rapport à l’axe des coordonnées $x.$

Par conséquent, si les coordonnées de trois points, qui forment la projection de l’élément correspondant sur la surface sphérique, prises à partir du centre de la sphère, sont

${\begin{array}{ll}\mathrm {X} ,&\mathrm {Y} ,\\\mathrm {X} +d\mathrm {X} ,&\mathrm {Y} +d\mathrm {Y} ,\\\mathrm {X} +\delta \mathrm {X} ,&\mathrm {Y} +\delta \mathrm {Y} ,\\\end{array}}$

le double de l’aire de cette projection sera exprimé par

$d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} ,$

et le signe de cette expression se détermine de la même manière que ci-dessus. Donc la mesure de la courbure en ce lieu de la surface sera

$k={\frac {d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} }{dx.\delta y-dy.\delta x}}.$

Si nous supposons que la nature de la surface est donnée suivant le troisième mode considéré dans l’article IV, on aura $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sous forme de fonctions des quantités $x$ et $y$ ; d’où

$d\mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)dy,$

$\delta \mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)\delta y,$

$d\mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)dy,$

$\delta \mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)\delta y.$

Par la substitution de ces valeurs, l’expression précédente se change en celle-ci :

$k=\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)-\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right).$

Posant, comme plus haut,

${\frac {dz}{dx}}=t,\qquad {\frac {dz}{dy}}=u,$

et de plus,

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=\mathrm {T} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dx\ dy}}=\mathrm {U} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=\mathrm {V} ,$

ou

$dt=\mathrm {T} \ dx+\mathrm {U} \ dy,\qquad du=\mathrm {U} \ dx+\mathrm {V} \ dy,$

nous aurons, d’après des formules données plus haut,

$\mathrm {X} =-t\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Y} =-u\mathrm {Z} ,\quad (1+t^{2}+u^{2})\mathrm {Z} ^{2}=1,$

et, de là,

$d\mathrm {X} =-\mathrm {Z} dt-td\mathrm {Z} ,$

$d\mathrm {Y} =-\mathrm {Z} du-ud\mathrm {Z} ,$

$(1+t^{2}+u^{2})d\mathrm {Z} +\mathrm {Z} (tdt+udu)=0,$

ou

$d\mathrm {Z} =-\mathrm {Z} ^{3}(tdt+udu),$

$d\mathrm {X} =-\mathrm {Z} ^{3}(1+u^{2})dt+\mathrm {Z} ^{3}tudu,$

$d\mathrm {Y} =+\mathrm {Z} ^{3}tudt-\mathrm {Z} ^{3}(1+t^{2})du$

et aussi

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})\mathrm {T} +tu\mathrm {U} ],$

${\frac {d\mathrm {X} }{dy}}=\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})U+tu\mathrm {V} ],$

${\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}=\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {T} -(1+t^{2})\mathrm {U} ],$

${\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {U} -(1+t^{2})\mathrm {V} ].$

${\displaystyle }$
En substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il vient

$k=\mathrm {Z} ^{6}(\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2})(1+t^{2}+u^{2})=\mathrm {Z} ^{4}(\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2})={\frac {\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2}}{(1+t^{2}+u^{2})^{2}}}.$