IV.
La situation d’un plan tangent est connue commodément par la position de la droite qui lui est normale au point 
cette droite est dite aussi, normale à cette surface courbe. Nous représenterons la direction de cette normale parle point 
sur la surface de la sphère auxiliaire, et nous poserons
nous désignons par 
les coordonnées du point 
Soient, de plus, 
les coordonnées d’un autre point 
pris sur la surface courbe ; 
sa distance infiniment petite au point enfin 
le point de la surface sphérique représentant la direction de l’élément 
On aura aussi
et, puisque l’on doit avoir 
degrés,
De la combinaison de ces équations dérive
On a deux méthodes générales pour montrer le caractère d’une surface courbe. La première méthode se sert de l’équation entre les coordonnées 
que nous supposerons réduite à la forme 
où 
sera fonction des indéterminées 
Soit la différentielle complète de la fonction 
on aura, pour la surface courbe,
et, par suite,
Comme cette équation, de même que celle que nous avons établie plus haut, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments sur la surface courbe, on verra facilement que 
doivent être proportionnels à 
et, par suite, comme 
on aura, ou
ou
La seconde méthode exprime les coordonnées sous forme de fonctions de deux variables 
et 
Supposons que, par la différentiation de ces fonctions, il vienne
Par la substitution de ces valeurs dans la formule donnée plus haut, on obtient
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles 
on devra avoir, évidemment,
d’où nous voyons que doivent être proportionnels aux quantités
Ainsi, en posant, pour abréger,
on aura, ou
ou
À ces deux méthodes générales, vient s’ajouter une troisième, dans laquelle une des coordonnées, 
par exemple, se présente sous forme de fonction des deux autres 
Cette méthode n’est évidemment autre chose qu’un cas particulier de la première méthode ou de la seconde. Si l’on pose
on aura, ou
ou
