d’axiome d’Archimède. Le voici : « Deux quantités sont dites inégales quand leur différence ajoutée à elle-même peut dépasser toute quantité finie. » C’est la notion de sommation d’une série illimitée. Par l’usage de cette notion Euxode trouva le volume de la pyramide et du cône, et Archimède, plus tard, la quadrature de la parabole. Il s’agit donc bien d’intégration. Une aire parabolique se mesure par la somme Il s’agit donc de la somme des termes d’une progression géométrique décroissante illimitée. On démontre par le postulat dit axiome d’Archimède que cette somme est rigoureusement égale à . C’est le mélange de la limite et de ce qui est illimité qui apparaît ici. Une même chose apparaît comme illimitée et comme finie, C’était déjà le cas dans ce qu’on nomme à tort les sophismes de Zénon.
Le même Eudoxe élabora un système d’astronomie pour répondre à la question de Platon. « Trouver l’ensemble de mouvements circulaires et uniformes qui permettent, concernant les astres, de sauver les apparences. » Il repose sur l’idée géniale de composition des mouvements qui est la base de notre mécanique. Comme nous construisons le mouvement parabolique des projectiles avec deux mouvements rectilignes, l’un uniforme, l’autre accéléré, de même Eudoxe rendait compte de toutes les positions des astres observées de son temps en supposant plusieurs mouvements circulaires uniformes accomplis simultanément autour d’axes différents par un seul et même astre. Cette conception est aussi hardie, aussi pure que celle qui définit le nombre réel et celle de la sommation d’une somme illimitée. Si Platon voulait seulement des mouvements circulaires uniformes, c’est
