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les $\scriptstyle m-1$ équations d’échange de (C) contre (A), (B), (D)…

$\scriptstyle D_{a,c}p_{a,c}=D_{c,a},\,$

$\scriptstyle D_{b,c}p_{b,c}=D_{c,b},\,$

$\scriptstyle D_{d,c}p_{d,c}=D_{c,d}\ldots$

les $\scriptstyle m-1$ équations d’échange de (D) contre (A), (B), (C)…

$\scriptstyle D_{a,d}p_{a,d}=D_{d,a},\,$

$\scriptstyle D_{b,d}p_{b,d}=D_{d,b},\,$

$\scriptstyle D_{c,d}p_{c,d}=D_{d,c}\ldots$

et ainsi de suite, soit $\scriptstyle m(m-1)$ équations d’échange contenant implicitement $\scriptstyle {\frac {m(m-1)}{2}}$ équations de réciprocité des prix. Ces $\scriptstyle m(m-1)$ équations d’échange jointes aux $\scriptstyle m(m-1)$ équations de demande forment un total de, $\scriptstyle 2m(m-1)$ équations. Or nous avons précisément, dans la question, $\scriptstyle 2m(m-1)$ inconnues, savoir les $\scriptstyle m(m-1)$ prix des $\scriptstyle m$ marchandises les unes en les autres et les $\scriptstyle m(m-1)$ quantités totales de ces $\scriptstyle m$ marchandises échangées les unes contre les autres.

IV
De l'équilibre général. Système des équations de l’échange.

Le problème de l’échange de plusieurs marchandises entre elles paraît résolu. Il ne l’est pourtant qu’à moitié. Dans les conditions ci-dessus définies, il y aurait bien, sur le marché, un certain équilibre du prix des marchandises deux à, deux ; mais ce ne serait là qu’un équilibre imparfait. L’équilibre parfait ou général du marché n’a lieu que si le prix de deux marchandises quelconques l’une en l’autre est égal au rapport des prix de l’une et l’autre en une troisième quelconque. C’est ce qu’il faut démontrer. Pour cela, prenons trois marchandises entre toutes (A), (B) et (C), par exemple ; supposons que les prix $\scriptstyle p_{c,b}$ soit plus grand ou plus petit que le rapport des prix $\scriptstyle p_{c,a},\,p_{b,a}$ et voyons ce qui arrivera.

Nous imaginerons, pour bien fixer les idées, que le lieu qui sert de marché pour l’échange de toutes les marchandises (A), (B), (C), (D)… entre elles ait été divisé en autant de parties qu’il se fait d’échanges de marchandises deux à deux, soit en $\scriptstyle {\frac {m(m-1)}{2}}$ marchés spéciaux désignés par des écriteaux sur lesquels on