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Soit o la valeur du paramètre qui se rapporte au point de croisement. Si pour les valeurs négatives du paramètre il y a stabilité sur la première branche et instabilité sur la seconde, ce sera l’inverse pour les valeurs positives du paramètre, c’est-à-dire qu’il y aura instabilité sur la première branche et stabilité sur l’autre. En d’autres termes, il y a échange des stabilités entre les deux branches au moment où elles se croisent. Cette proposition est celle que Poincaré a appelée le théorème de l’échange des stabilités.

Appliquons maintenant ces résultats à la question de la rotation des masses fluides homogènes. Supposons que les solutions de Mac Laurin et de Jacobi soient connues. L’axe de rotation est toujours le petit axe de l’ellipsoïde, c’est pourquoi si nous considérons ses rapports avec les autres axes, ils sont plus petits que l’unité. Ces rapports sont égaux pour l’ellipsoïde de Mac Laurin et sont différents pour celui de Jacobi. Si nous prenons ces rapports comme coordonnées d’un point du plan, chaque ellipsoïde est individualisé par un point, et leur ensemble par une ligne. La bissectrice O A des axes sera la ligne représentative des ellipsoïdes de Mac Laurin. A correspondra à une forme sphérique et par suite