valeur est une constante négative dans tous les points du domaine. Quelle est la plus petite valeur absolue de ce rapport ? Or, le problème des sons dus aux vibrations d’une membrane consiste à trouver toutes les valeurs de ce rapport. C’est pourquoi le problème de Schwarz n’était qu’un cas particulier de celui-ci.
Il s’agissait donc d’aller en avant et de trouver toutes les autres valeurs au delà du minimum de Schwarz. M. Picard avait découvert des propriétés de la plus grande importance et démontré l’existence de la seconde harmonique. Poincaré avait déjà attaqué le problème dans un travail publié dans l’American Journal of Mathematics. Mais il faut avouer que dans ce travail il était encore éloigné de la solution générale. Il a pris sa revanche dans celui que nous allons examiner.
On devait soupçonner d’après le théorème de Lagrange que les différents sons seraient ressortis comme correspondant aux racines d’une fonction transcendante. C’est à la construction d’une de ces fonctions plus spécialement à la preuve de son existence que Poincaré s’est attaché. Voyons de quelle manière. On a commencé par ajouter un terme à son équation, c’est-à-dire que l’équation qu’il envisage d’abord est composée de trois termes. Le premier est le
