hommes ont une géométrie naturelle dans l’esprit, qui leur fait saisir les rapports quand ils ne sont pas trop compliqués[1].
Que le corps A (figure 54) soit mû en B en un espace de temps très-petit : au bout d’un pareil espace, un mouvement également continué (car il n’y a ici nulle accélération) le ferait venir en G ; mais en B, il trouve une force qui le pousse dans la ligne B H S : il ne suit donc ni ce chemin B H S, ni ce chemin A B C : tirez ce parallélogramme C D B H, alors le mobile étant mû par la force B C, et par la force B H, s’en va selon la diagonale B D ;
- ↑ Dans les éditions de 1738 et 1741, on lisait de plus ici : « On trouvera la démonstration plus étendue en notes. »
Et on lisait en effet en notes les deux démonstrations que voici :
Démonstration. Que tout mobile attiré par une force centripète décrit dans une ligne courbe des aires égales en temps égaux (figure 52).
« Tout corps se meut d’un mouvement uniforme quand il n’y a point de force accélératrice : donc le corps A, mû en ligne droite dans le premier temps de A en B, ira en pareil temps de B en C, de C en Z. Ces espaces conçus égaux, la force centripète, dans le second temps, donne à ce corps en B un mouvement quelconque, et le corps, au lieu d’aller en C, va en H : quelle direction a-t-il eue différente de B C ? Tirez les quatre lignes C H, G B, C B, G H, le mobile a suivi la diagonale B H de ce parallélogramme.
« Or, les deux côtés B C, B H du parallélogramme sont dans le même plan que le triangle A B S : donc les forces sont dirigées vers G S et vers la droite A B C Z.
« Les triangles S H B, S C B, sont égaux, puisqu’ils sont sur même base S B, et entre les parallèles H C, G B ; mais S B, A S, C B, sont égaux, ayant même base et même hauteur : donc S B, A S, H B, sont aussi égaux. « Il faut en dire autant des triangles S T H, S D H : donc tous ces triangles sont égaux. Diminuez la hauteur à l’infini, le corps, à chaque moment infiniment petit, décrira la courbe, de laquelle toutes les lignes tendent au point S : donc dans tous les cas les aires de ces triangles sont proportionnelles aux temps. »
Démonstration. Que tout corps, dans une courbe décrivant des triangles égaux autour d’un point, est mû par la force centripète autour de ce point (figure 53).« Que cette courbe soit divisée en parties égales A B, B H, H F, infiniment petites, décrites en temps égaux ; soit conçue la force agir aux points B H F ; soit A B prolongée en C, soit B H prolongée en T, le triangle S A B sera égal au triangle S B H ; car A B est égal à B C : donc S B H est égale à S B C : donc la force en B G est parallèle à C H ; mais cette ligne B G, parallèle à C H, est la ligne B G S, tendante au centre. Le corps en H est dirigé par la force centripète selon une ligne parallèle à F T, de même qu’au point B, il était dirigé par cette même force dans une ligne parallèle à C H ; or la ligne parallèle à C H tend en S : donc la ligne parallèle à F T tendra aussi en S ; donc toutes les lignes ainsi tirées tendront au point S.
« Concevez maintement en S des triangles semblables à ceux ci-dessus ; plus ces triangles ci-dessus seront petits, plus les triangles en S approcheront d’un point physique, lequel point S sera le centre des forces. »
Ces notes ou démonstrations n’étaient conservées ni dans l’édition de 1748, ni dans celle de 1756. (B.)
