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J. VILLEY.

ou

(4)

$f_{x}dt=d\left(mv_{x}\right)$(4)

et les deux équations analogues en projections sur les axes Ox et Oy. C’est la relation fondamentale des quantités de mouvement, que l’on énonce : En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement $mv_{x}$ d’un point matériel est égale à l’impulsion élémentaire $f_{x}dt$ de la force qui agit sur lui.

Si, après avoir écrit cette relation fondamentale pour chacun des points matériels d’un système, on additionne ensemble toutes les équations ainsi obtenues, dans la somme totale $\sum f_{x}$ les forces intérieures $\varphi ,$ deux à deux égales et opposées, s’annulent mutuellement ; cette somme se réduit donc à la somme des projections des forces extérieures $\mathrm {F} ,$ soit

(5)

$\sum \mathrm {F} _{x}dt=d\left(\sum mv_{x}\right)$(5)

et l’on obtient l’énoncé fondamental que :

En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement totale d’un système matériel est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces extérieures, égale elle-même d’ailleurs à l’impulsion élémentaire de la somme géométrique (ou résultante) des forces extérieures.

Mais on peut chercher aussi à traduire la relation vectorielle ${\overline {f}}=m{\overline {\gamma }}$ par une relation analytique indépendante de tout choix d’axes de coordonnées. On y arrive facilement par une combinaison simple des équations (3) relatives aux axes de coordonnées. On écrira

$f_{x}dx=m{\frac {dv_{x}}{dt}}dx=mdv_{x}{\frac {dx}{dt}}=mv_{x}d\left(v_{x}\right)$

ou

(6)

$f_{x}dx={\frac {1}{2}}md\left(v_{x}^{2}\right)$(6)

d’où l’on tire par addition

$f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz={\frac {1}{2}}md\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)$

                                              $={\frac {1}{2}}md\left(v^{2}\right)=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).$

Mais le premier membre représente le produit du déplacement $dl$