111. — Applications. — I. — Faire passer un facteur sous un radical.
Je peux écrire :![{\displaystyle \qquad \mathrm {a{\sqrt[{}]{b}}\ ={\sqrt {a^{2}}}{\sqrt {b}}\ ={\sqrt {a^{2}b}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96369831ed4a6d35ad2fb098ca483c4b59d23efa)
de même : ![{\displaystyle \qquad \mathrm {a^{2}{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}}}{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}b}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518f15bf80351f22be1c5e84deaef57a55334f1a)
![{\displaystyle \qquad 4{\sqrt {3}}\ \;={\sqrt {16}}{\sqrt {3}}\ ={\sqrt {48}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1e647b94d26917a06c9618e4f65724a8b54025)
II. — Faire sortir un facteur d’un radical.
Je peux écrire, à l’inverse des exemples précédents :
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt[{3}]{a^{6}b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}}}\;{\sqrt[{3}]{b}}=a^{2}{\sqrt[{3}]{b}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4490f1901e5d9ba601d163d2020a752942462c2a)
de même ![{\displaystyle {\sqrt {20}}={\sqrt {4\times 5}}={\sqrt {4}}\;{\sqrt {5}}=2{\sqrt {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50dd71d487e667bb3eeb64a115b9394631dc0d6c)
![{\displaystyle {\sqrt {4800}}={\sqrt {100\times 16\times 3}}={\sqrt {100}}\;{\sqrt {16}}\;{\sqrt {3}}=10\times 4\times {\sqrt {3}}=40{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3518e75ad0c2c8f6b5470f454ed2d60ba4923192)
Il faut s’habituer à faire mentalement ces transformations, et à écrire de suite, par exemple :
![{\displaystyle {\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}\ ;\quad {\sqrt {75}}=5{\sqrt {3}}\ ;\quad {\sqrt {7200}}=60{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1020806aeab3ceb02989cf4fc4e73bfa5b710961)
.
Remarque. — Si l’on a, par exemple,
, on ne peut pas faire sortir les carrés du radical, car ce sont des termes d’une différence ; mais il est très avantageux de remplacer cette différence par un produit de facteurs ; parfois même, l’opération est ainsi très simplifiée :
![{\displaystyle {\sqrt {68^{2}-32^{2}}}={\sqrt {(68+32)(68-32)}}={\sqrt {100\times 36}}=60.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8378d78b7b61bea96d8c14c3291b1d2f69c463b7)
![{\displaystyle {\sqrt {328^{2}-216^{2}}}={\sqrt {(328+216)(328-216)}}={\sqrt {554\times 112}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798a8459ad29e6da38a7693cfefaaa7897d17b40)
![{\displaystyle ={\sqrt {16\times 34\times 16\times 7}}=16{\sqrt {34\times 7}}=16{\sqrt {238}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa263cd6013f12a976b95b7a103751c958c8b6f)
112. — Division. — Le quotient de deux radicaux de même indice est un radical de même indice renfermant le quotient des quantités placées sous les radicaux primitifs.
Je dis que :
(1)
En effet, le premier membre est une fraction dont la puissance
est :
![{\displaystyle \mathrm {\left({\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\right)^{n}={\frac {\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}}}={\frac {a}{b}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957796d8f49e0aeb63016df209681353cba0ec3e)