Si l’on ne faisait pas cette restriction, et si l’on tenait compte des signes, ce raisonnement pourrait être faux, car,
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et
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ne sont pas égaux,
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et pourtant leurs carrés
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et
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sont égaux.
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PRINCIPES FONDAMENTAUX.
106. — Lemme. — La puissance pq d’un nombre est égale à la puissance q de sa puissance p, ou à la puissance p de sa puissance q.
Je dis, par exemple, que pour élever a à la puissance 6, je peux d’abord élever a au carré, puis ce résultat au cube, ou élever d’abord a au cube, puis ce résultat au carré ; c’est ce que signifie la notation :
(1)
xx1°xx
xxsignifiexx
.
xx2°xx
xxxx—xxxx
.
Or, quels que soient les exposants, leurs produits intervertis sont égaux ; donc les notations
et
sont égales, et par suite les relations (1) sont exactes.
D’une façon générale on a donc :
![{\displaystyle \mathrm {a^{pq}=(a^{p})^{q}=(a^{q})^{p}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7157d22bb128d9ea8b3ae078593bd5d0fa4f5a6)
107. — Théorème. — On ne change pas la valeur d’un radical en multipliant ou en divisant l’indice et l’exposant par le même nombre.
Je dis que :
(1)
Pour le démontrer, élevons les deux membres, séparément, à la puissance nk.
1° D’après le lemme n° 106, on a :
![{\displaystyle \mathrm {\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{nk}=\left[\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{n}\right]^{k}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f143cf3ebeec1b46ca04855f7ab7c886b3be1e08)
.
Or, par définition,
.
Donc
(2)