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Divisons les deux membres par $\mathrm {(-bm)}$, il vient :

                                                  $\mathrm {{\frac {-am}{-bm}}=q} .$(3)

En comparant cette égalité (3) à l’égalité (1), on voit que :

                                                  $\mathrm {{\frac {a}{b}}={\frac {-am}{-bm}}} .$(4)

Réciproquement, si l’on donnait $\mathrm {\frac {-am}{-bm}} ,$ en divisant les deux termes de cette fraction par $\mathrm {(-m)}$ on trouverait $\mathrm {\frac {a}{b}}$ et l’égalité (4) montre que cette dernière fraction est équivalente à la proposée.

Conséquences. — La première partie de ce théorème permet la réduction des fractions au même dénominateur ; la seconde partie, leur simplification.

SIMPLIFICATION

91. — Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser ses deux termes par l’ensemble de leurs facteurs communs ; on peut alors effectuer une série de divisions successives, ou bien, ce qui est préférable, diviser d’un seul coup les deux termes par l’ensemble de ces facteurs communs, qu’on appelle leur plus grand commun diviseur algébrique.

Exemple I :                $\mathrm {{\frac {-12a^{3}b^{2}c}{9a^{2}b^{4}cd}}\;;\qquad (pgcd=3a^{2}b^{2}c)} \;;$

d’où :                                         $\mathrm {{\frac {4a}{3b^{2}d}}\,,\quad ou\quad -{\frac {4a}{3b^{2}d}}} .$

92. — Observation pratique. — Soit la fraction :

                                                  $\mathrm {\frac {3a^{2}b-4ac}{a^{2}}} .$(1)

Il faut bien se garder de supprimer $\mathrm {a^{2}} ,$ car ce n’est pas un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Il faut remarquer que le numérateur étant un polynôme, pour le