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Si $\mathrm {x} _{1}$ et $\mathrm {x} _{2}$ sont les logarithmes respectifs des nombres $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on a par définition :

${\begin{aligned}&{\rm {a^{x_{1}}=A}}\\&{\rm {a^{x_{2}}=B.}}\end{aligned}}$(1)
(2)

Multiplions membre à membre ces égalités :

${\rm {a^{x_{1}+x_{2}}=A\times B.}}$

Cette égalité prouve, d’après la définition, que ${\rm {(x_{1}+x_{2})}}$ est le logarithme de $\mathrm {A\times B} ,$ ce qui justifie l’énoncé.

51. — Quotient. — Le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.

En divisant membre à membre les égalités (1) et (2) on a :

${\rm {a^{x_{1}-x_{2}}={\frac {A}{B}}.}}$

Donc, par définition, ${\rm {(x_{1}-x_{2})}}$ est le logarithme de ce quotient.

52. — Puissance. — Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme du nombre multiplié par l’exposant de la puissance.

Élevons à la puissance $\mathrm {n}$ les deux membres de l’égalité (1) :

${\rm {a^{x_{1}\,n}=A^{n}.}}$

Donc, par définition, ${\rm {x_{1}\,n}}$ est le logarithme de ${\rm {A^{n}.}}$

53. — Racine. — Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par l’indice de la racine.

Extrayons la racine n^e des deux membres de l’égalité (1) :

${\rm {{\sqrt[{n}]{a^{x_{1}}}}={\sqrt[{n}]{A}},\quad {\text{or}}\quad {\sqrt[{n}]{a^{x_{1}}}}=a^{\frac {x_{1}}{n}}}}$

${\rm {a^{\frac {x_{1}}{n}}={\sqrt[{n}]{A}}}}$donc

et, par définition, $\mathrm {\frac {x_{1}}{n}}$ est le logarithme de $\mathrm {\sqrt[{n}]{A}} .$