Si
et
sont les logarithmes respectifs des nombres
et
on a par définition :
(1)
(2)
Multiplions membre à membre ces égalités :
![{\displaystyle {\rm {a^{x_{1}+x_{2}}=A\times B.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec369d4c6a440f4a937a82ee0dbe77f029d01ac)
Cette égalité prouve, d’après la définition, que
est le logarithme de
ce qui justifie l’énoncé.
51. — Quotient. — Le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
En divisant membre à membre les égalités (1) et (2) on a :
![{\displaystyle {\rm {a^{x_{1}-x_{2}}={\frac {A}{B}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7423caa9ecb0f497ef23cf03bf35a948c08fec0)
Donc, par définition,
est le logarithme de ce quotient.
52. — Puissance. — Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme du nombre multiplié par l’exposant de la puissance.
Élevons à la puissance
les deux membres de l’égalité (1) :
![{\displaystyle {\rm {a^{x_{1}\,n}=A^{n}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb946f309f8d2f6d2171cb73f199e6043256fd7)
Donc, par définition,
est le logarithme de
53. — Racine. — Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par l’indice de la racine.
Extrayons la racine ne des deux membres de l’égalité (1) :
![{\displaystyle {\rm {{\sqrt[{n}]{a^{x_{1}}}}={\sqrt[{n}]{A}},\quad {\text{or}}\quad {\sqrt[{n}]{a^{x_{1}}}}=a^{\frac {x_{1}}{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e0feed3aba7b63c75af7846ef86f96964445a9)
donc
et, par définition,
est le logarithme de ![{\displaystyle \mathrm {\sqrt[{n}]{A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4aa3f281267c8038a7526d6bfc947714ea0d58)