de
telles que
étant positives, en les élevant au carré on a :
![{\displaystyle {\rm {x_{2}^{2}>x_{1}^{2}\quad {\text{ou}}\quad y_{2}>y_{1}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814d2a921e4997d11e234871b4bf32ff848df58f)
Donc, lorsque
croît, la fonction
croît ; d’autre part :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{pour}}&\qquad &\mathrm {x} =&0&{\text{on a}}\qquad &&\mathrm {y} =&0\\{\text{pour}}&\qquad &\mathrm {x} =&+\infty \qquad &{\text{– }}\ \qquad &&\mathrm {y} =&+\infty .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ed59985e2e8f34f234580fc7f77cdba4b73061)
On prouverait, comme dans l’exemple I, que la variation de
est continue.
Par suite, lorsque
croît d’une manière continue de
à
croît de même de
à
En résumé, lorsque
croît d’une manière continue de
à
la fonction
varie en sens inverse, de
à
lorsque
croît d’une manière continue de
à
la fonction
varie dans le même sens, de
à
7. – Exemple III. – Soit la fonction
Cette expression n’ayant aucune valeur déterminée pour
faisons varier
de
à
étant une quantité positive infiniment petite. Lorsque
a une valeur absolue très grande, celle de
est très petite et tend vers
;
étant négatif, la valeur
est alors très voisine de
mais négative ; la valeur de
croissant, celle de
décroît, toujours négative ; et lorsque
est très près de
la valeur absolue de
est très grande, et comme
est négatif,
tend vers
Ainsi la valeur de
toujours négative, va en décroissant de
à
Faisons varier
de
à
étant une quantité positive infiniment petite ; la valeur de
toujours positive, va en décroissant. Pour
a une valeur positive infiniment grande ; pour
tend vers
En résumé, tant que
se rapproche de
par valeurs négatives, la valeur absolue de
devient infiniment grande, mais
a le signe
dès que
dépasse
la valeur de
devient infiniment grande, et
a le signe
On convient alors de dire que lorsque
passe la valeur
saute de
à
La fonction
n’est donc pas calculable pour
puisqu’elle représente en même temps un nombre infiniment grand