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Un raisonnement analogue à celui du 1^er cas donne :

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&{\rm {ax_{1}+b}}\\\mathrm {y} _{2}={\rm {}}&ax_{2}+b\\\mathrm {y_{2}-y_{1}} ={\rm {}}&a(x_{2}-x_{1}).\end{aligned}}$

L’accroissement ${\rm {(x_{2}-x_{1})}}$ est positif, mais ici $\mathrm {a}$ étant négatif, le produit ${\rm {(y_{2}-y_{1})}}$ l’est aussi, et par suite ${\rm {y_{2}<y_{1}\,;.}}$

Ainsi, les valeurs de $\mathrm {x}$ devenant de plus en plus grandes, celles de $\mathrm {y}$ deviennent de plus en plus petites.

On démontrerait, comme au 1^er cas, qu’un accroissement très petit de $\mathrm {y}$ correspond à un accroissement très petit de $\mathrm {x} ,$ mais ici ces accroissements seraient de sens inverses.

En résumé : Lorsque $\mathrm {x}$ croît d’une manière continue de $-\infty$ à $+\infty ,$ la fonction ${\rm {y=ax+b}}$ varie d’une manière continue : 1^o dans le même sens que $\mathrm {x}$ si $\mathrm {a}$ est positif, soit $-\infty$ à $+\infty ;$ 2^o en sens inverse si $\mathrm {a}$ est négatif, soit de $+\infty$ à $-\infty .$

6. – Exemple II. – Soit la fonction ${\rm {y=x^{2}.}}$

$x_{2}>x_{1}.$Supposons

Nous savons qu’on ne peut pas élever au carré les deux membres d’une inégalité sans faire auparavant une hypothèse sur les signes de ces membres.

1^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $-\infty$ à $0.$ – Deux valeurs de $\mathrm {x}$ telles que ${\rm {x_{1}<x_{2}}}$ étant négatives, en les élevant au carré on a :

${\rm {x_{2}^{2}<x_{1}^{2}\quad {\text{ou}}\quad y_{2}<y_{1}.}}$

Donc, lorsque $\mathrm {x}$ croît, la fonction $\mathrm {y}$ décroît ; d’autre part, la valeur de $\mathrm {y}$ est toujours positive puisque c’est un carré, et

${\begin{alignedat}{4}{\text{pour}}&\qquad &\mathrm {x} =&-\infty \qquad &{\text{on a}}\qquad &\mathrm {y} =&+\infty \\{\text{pour}}&\qquad &\mathrm {x} =&0&{\text{– }}\ \qquad &\mathrm {y} =&0.\end{alignedat}}$

On prouverait, comme dans l’exemple I, que la variation $\mathrm {y}$ est continue.

Par suite, lorsque $\mathrm {x}$ croît d’une manière continue de $-\infty$ à $0,$ $\mathrm {y}$ décroît d’une manière continue de $+\infty$ à $0.$

2^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $0$ à $+\infty .$ — Dans ce cas, deux valeurs