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Pour conclure que $\mathrm {y}$ est fonction continue de $\mathrm {x} ,$ il faut donc prouver : 1^o que toutes les valeurs de $\mathrm {y}$ vont toujours en croissant de $-\infty$ à $+\infty \,;$ 2^o qu’elles ne présentent aucune solution de continuité, et pour cela, qu’étant donnée une valeur $\mathrm {y} _{1}$ de la fonction, pour la valeur $\mathrm {x} _{1}$ de la variable, on obtiendra toujours une valeur $\mathrm {y} _{2}$ de la fonction, supérieure à $\mathrm {y} _{1}$ et très voisine de $\mathrm {y} _{1},$ en donnant à $\mathrm {x} _{1}$ un accroissement suffisamment petit.

Soient, en effet, deux valeurs quelconques de $\mathrm {x}$ telles que :

${\rm {x_{2}>x_{1},\quad {\text{ou}}\quad x_{2}-x_{1}>0}}$

${\begin{aligned}&{\rm {y_{1}=ax_{1}+b}}\\&{\rm {y_{2}=ax_{2}+b}}\end{aligned}}$La fonction devient

Retranchons membre à membre :

${\rm {y_{2}-y_{1}=a(x_{2}-x_{1}).}}$

(1)

Or $\mathrm {(x_{2}-x_{1})}$ est positif, par hypothèse, ainsi que $\mathrm {a} \,;$ donc leur produit $\mathrm {(y_{2}-y_{1})}$ est positif, et par suite : ${\rm {y_{2}>y_{1}.}}$

Ainsi, les valeurs de $\mathrm {x}$ devenant de plus en plus grandes, celles de $\mathrm {y}$ le deviennent aussi.

D’autre part, si nous voulons que la valeur $\mathrm {y} _{2}$ soit très voisine de $\mathrm {y} _{1},$ ou que leur différence ${\rm {y_{2}-y_{1}}}$ soit inférieure à une quantité positive très petite $\mathrm {e} ,$ nous pouvons écrire :

${\rm {y_{2}-y_{1}<e\quad {\text{ou}}\quad a(x_{2}-x_{1})<e}}$

${\rm {x_{2}-x_{1}<{\frac {e}{a}}.}}$et enfin

Il suffirait donc de calculer $\mathrm {\frac {e}{a}} ,$ et de faire croître $\mathrm {x}$ d’une quantité plus petite que le quotient trouvé, pour avoir une valeur de $\mathrm {y}$ très voisine de la précédente.

2^o Soit $a<0.$ – On voit de suite que :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {x} =&-\infty \qquad \qquad &\mathrm {y} =&+\infty \\\mathrm {x} =&-\mathrm {\frac {b}{a}} &\mathrm {y} =&0\\\mathrm {x} =&+\infty &\mathrm {y} =&-\infty .\end{alignedat}}$Pour