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fin de la 1^re année ; d’un second, double du premier, à la fin de la 2^e année et d’un troisième, triple du second, à la fin de la 3^e année. Quelle est la valeur de chaque versement ?

1041. – Une personne emprunte à intérêts composés, $4\%,$ une somme de $20000^{\text{f}}$ qu’elle doit rembourser en $10$ sommes égales payables d’année en année, la 1^rer étant versée $3$ ans après l’emprunt. 1^o Déterminer la valeur de chacune d’elles. 2^o L’emprunteur meurt après avoir payé la 5^e annuité, et ses héritiers, au lieu de continuer le remboursement par annuités, préfèrent achever de se libérer par un paiement unique qui sera effectué $2$ ans après le décès déterminer le montant de ce paiement.

1042. – Une personne s’est engagée à payer une dette à l’aide de $10$ annuités de $500^{\text{f}}$ chacune, la première étant payée dans $1$ an ; elle propose de s’acquitter en payant seulement $5$ annuités, la 1^re étant payée dans $1$ an ; quelle doit être la valeur de cette annuité, les intérêts étant composés, à $4\%\ ?$

1043. – Une somme de $66000^{\text{f}}$ est prêtée à intérêt simple, $3\%,$ pour $9$ ans. 1^o Quelle sera la dette de l’emprunteur au bout de $9$ ans ? 2^o Quelle annuité devrait-il payer pour éteindre cette dette, en supposant qu’on lui tient compte de l’intérêt simple produit par chaque annuité pendant le temps qui reste à courir avant l’échéance ?

1044. – Une somme de $15000^{\text{f}}$ est prêtée pour $8$ ans à intérêt simple au taux $4{,}5\%,$ 1^o Quelle sera la dette de l’emprunteur au bout de $8$ ans ? 2^o Quelle annuité devrait-il payer pour se libérer, si tout le calcul d’amortissement était fait à intérêts simples ?

1045. – Une ville emprunte à intérêt simple au taux $5\%,$ et pour $50$ ans, une somme de $50000^{\text{f}}.$ Mais au lieu d’attendre la fin du temps pour se libérer, elle verse une annuité fixe à la fin de chaque année, à partir de la fin de la année de l’emprunt. Quelle doit être l’annuité pour que la dette soit amortie, capital et intérêts simples, après le versement des $50$ annuités ?

(Les 3 problèmes précédents sont des exercices théoriques n’ayant d’autre but que d’obliger l’élève à bien comprendre le mécanisme de l’amortissement.)

1046. – On verse chaque trimestre chez un banquier une somme de $200^{\text{f}}$ dont les intérêts à $4\%$ par an doivent se capitaliser tous les $3$ mois. 1^o Quelle somme devra le banquier $6$ ans après le 1^er versement, soit $3$ mois après le 24^e et dernier versement ? 2^o À partir de cette époque, quelle somme le banquier devra-t-il payer à la fin de chaque semestre pour que sa dette soit éteinte en $10$ versements, les intérêts étant alors capitalisés tous les $6$ mois ?

1047. – Un propriétaire a une maison estimée $8000^{\text{f}}.$ Il offre à un locataire : 1^o de la louer $320^{\text{f}}$ par an, soit $80^{\text{f}}$ payables à la fin de chaque trimestre ; 2^o de la louer $600^{\text{f}}$ par an, soit $150^{\text{f}}$ payables à la fin de chaque trimestre, mais, dans ce cas, la maison appartiendra au locataire au bout de $15$ ans. Le taux étant pris à $4\%$ l’an, et la capitalisation étant trimestrielle, quelle est, pour le locataire, la proposition la plus avantageuse ? On suppose l’opération continuée par les héritiers en cas de décès de l’un ou l’autre des contractants, et l’on admet que la propriété aura conservé la même valeur, $8000^{\text{f}},$ la dépréciation de l’immeuble pouvant être compensée par une plus-value du terrain.)

Le Crédit Foncier fait aux particuliers des prêts à $4^{\text{f}}{,}30\%$ l’an, mais la capitalisation est semestrielle. Quand le prêt ne dépasse pas $9$ ans, il est remboursable en une seule fois, à l’échéance fixée. Quand le prêt est fait pour une durée de $10$ à $75$ ans, il est remboursable par amortissement ; on calcule alors