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Valeur acquise par la dette en 8 ans :

$\mathrm {D(1+r)^{n}} =30000\times 1{,}035^{8}=39503^{\text{f}}{,}6$

Reliquat à la fin de la 8^e année :

$39503^{\text{f}}{,}6-36204^{\text{f}}{,}3=3299^{\text{f}}{,}3$

Qui vaudra, à la fin de la 9^e année :

$3299^{\text{f}}{,}3\times 1{,}035=3414^{\text{f}}{,}77.$

Réponse : Il faudra payer $8$ annuités de $4000^{\text{f}}$ et une 9^e annuité de $3414^{\text{f}}{,}77.$

RENTE PERPÉTUELLE

319. – Reprenons la formule (2) ; on peut l’écrire :

${\rm {a={\frac {Dr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}={\frac {Dr}{1-{\cfrac {1}{(1+r)^{n}}}}}\,;}}$

Nous admettrons que les puissances successives d’un nombre plus grand que $1,$ tel que $(1+\mathrm {r} ),$ vont toujours en croissant ; par suite, si $\mathrm {n}$ augmente, $(1+\mathrm {r} )^{\mathrm {n} }$ augmente, et $\mathrm {\frac {1}{(1+r)^{n}}}$ diminue ; le dénominateur $1-\mathrm {\frac {1}{(1+r)^{n}}}$ augmente en devenant de plus en plus voisin de $1\,;$ le numérateur $\mathrm {Dr}$ étant constant, la valeur $\mathrm {a}$ diminue donc ; c’est-à-dire que plus le nombre des amortissements est grand, plus l’annuité est petite.

Si l’on se propose de ne jamais rembourser la dette, ce qui est le cas de la rente $3\%$ perpétuelle, ou non amortissable, $\mathrm {n}$ tend vers $\infty ,$ $\mathrm {(1+r)^{n}}$ tend vers $\infty ,$ ${\frac {1}{\mathrm {(1+r)^{n}} }}$ tend vers $0\,;$ $1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}$ tend vers $1-0$ ou $1,$ et

$\mathrm {a=Dr}$

c’est-à-dire que l’annuité est l’intérêt simple de la dette. Cette annuité est une rente perpétuelle.

§ IV. – Problèmes divers.

320. – Pratiquement, on connaît la dette et le taux ; les questions usuelles portent donc sur le calcul de $\mathrm {a}$ ou de $\mathrm {n} .$