On effectue le second membre par l’arithmétique : soit
la valeur trouvée ; on a ensuite :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {(1+r)^{n}=}}&\mathrm {V} \\\mathrm {n} \,log\,(1+\mathrm {r} )=&log\,\mathrm {V} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e807f3566f6b20e1a787dfdf2850ce3acd28411)
![{\displaystyle n={\frac {log\,V}{log\,(1+r)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d3c8d042db08d5dee76929a31e0fc8e604304b)
316. – Remarque. – Si le quotient exact est entier, le problème est terminé. Sinon, on peut prendre le quotient à l’unité près par défaut ou par excès, et l’on modifie en conséquence l’annuité à payer, car ici la dette est fixe. Mais, plus généralement, on procède ainsi : Soit
on calcule le capital
accumulé par
annuités
dont la dernière est versée à la fin de la 12e année ; à ce moment, la valeur acquise par la dette est
et l’on a
puisqu’il faut faire plus de
versements pour se libérer.
On calcule alors la différence
qu’on appelle reliquat, et l’on convient : ou bien de la payer de suite, qui donne une 12e annuité égale à
ou bien dans un an, ce qui donne une 13e annuité égale à
car il faut tenir compte de l’intérêt de ce reliquat en un an.
317. – Calcul de
– Pratiquement, le taux est toujours connu.
318. – Application : Combien faudra-t-il payer d’annuités de
pour éteindre une dette de
le taux étant
La formule (4) donne :
![{\displaystyle 1{,}035^{\mathrm {n} }={\frac {4000}{4000-30000\times 0{,}035}}={\frac {4000}{2950}}=1{,}35593}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb21dbd0b90c8c06e774036d3a0f864627000dd)
![{\displaystyle \mathrm {n} \,log\,1{,}035=log\,1{,}35593}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4b0db9ddccdf7949bb658f43586b1b605943ae)
![{\displaystyle \mathrm {n} ={\frac {log\,1{,}35593}{log\,1{,}035}}={\frac {0{,}13224}{0{,}01494}}=8,8\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac24ec360b03cbca71b6d20f37d55f17775c866c)
Calculons le capital accumulé dès la 8e annuité :
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {4000\left(1{,}035^{8}-1\right)}{0{,}035}}=36204^{\text{f}}{,}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9b269e3b97b2b7b9551dfca72fc4676c595c85)