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$\mathrm {n} ={\frac {log\,1{,}5825}{log\,1{,}03}}={\frac {0{,}19935}{0{,}01284}}=15{,}5\ldots$ environ.

Calculons le capital accumulé à la fin de la 15^e année par $15$ annuités de $500^{\text{f}}\,:$

$\mathrm {A} ={\frac {500\times 1{,}03\left(1{,}03^{15}-1\right)}{0{,}03}}=9578^{\text{f}}{,}4$

$10000^{\text{f}}-9578^{\text{f}}{,}4=421^{\text{f}}{,}6$Reliquat :

Réponse : Il faut verser $15$ annuités de $500^{\text{f}}$ au commencement de chaque année, plus une 16^e annuité de $421^{\text{f}}{,}6$ à la fin de la 15^e année, et qui termine l’opération.

AUTRES CAS

309. – Si un énoncé se présente comme l’exemple II du n^o 301, on pourrait le traiter comme le problème général n^o 302, et l’on dirait :

la 1^re annuité $\mathrm {a} ,$ placée $\mathrm {n} -1$ années, devient${\rm {a(1+r)^{n-1}}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la n^e – , qui termine l’opération, reste$\mathrm {a}$

${\rm {A=a+a(1+r)+\ldots +a(1+r)^{n-1}}}$D’où

ce qui est la somme des termes d’une progression géométrique dont le 1^er terme est $\mathrm {a} ,$ la raison $(1+\mathrm {r} ),$ et le nombre des termes $\mathrm {n} .$ D’où

${\rm {A={\frac {a\left[(1+r)^{n}-1\right]}{1+r-1}}\quad {\text{ou}}\quad A={\frac {a\left[(1+r)^{n}-1\right]}{r}}}}$

(4)

Mais il est plus simple de constater que, dans ce cas, il rapport au premier, tous les versements sont retardés d’un an la valeur acquise par chacun d’eux est donc divisée par $(1+\mathrm {r} ),$ et il en est de même de leur somme.

Cette somme étant dans le 1^er cas :

${\rm {A={\frac {a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}{r}}}}$