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Nous remarquons que c’est la somme des termes d’une progression géométrique dont le 1^er terme est ${\rm {a(1+r),}}$ la raison $(1+\mathrm {r} ),$ et le nombre des termes $\mathrm {n} .$ Appliquons la formule ${\rm {S={\frac {a\left(q^{n}-1\right)}{q-1}},}}$ il vient :

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}{1+r-1}} \\\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}{r}} \end{aligned}}$

ou
(1)

FORMULES

303. – Calcul de $\mathrm {A} .$ – De la formule (1) on tire :

$log\,\mathrm {A} =log\,\mathrm {a} +log\,(1+\mathrm {r} )+log\,\left[(1+\mathrm {r} )^{n}-1\right]+colog\,\mathrm {r} .$

Mais il faut bien remarquer que la quantité entre crochets, étant une différence, doit être calculée à part pour en trouver ensuite le logarithme. Pour cela, on cherche par logarithmes la valeur de ${\rm {(1+r)^{n},}}$ on en retranche $1,$ puis on cherche le logarithme de cette différence.

Pratiquement on peut se borner à calculer par logarithmes seulement la valeur de ${\rm {(1+r)^{n},}}$ puis on effectue tous les autres calculs par l’arithmétique.

304. – Calcul de $\mathrm {a} .$ – La formule (1) donne de suite

${\rm {a={\frac {Ar}{(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}}}}$

(2)

que l’on peut calculer entièrement par l’arithmétique, après avoir trouvé ${\rm {(1+r)^{n}}}$ par logarithmes. Sinon, l’on calcule :

$log\,\mathrm {a} =log\,\mathrm {A} +log\,\mathrm {r} +colog(1+\mathrm {r} )+colog\left[(1+r)^{n}-1\right].$

305. – Calcul de $\mathrm {n} .$ – De la formule (1) on tire.

${\rm {Ar=a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]\quad {\text{d’où}}\quad (1+r)^{n}-1={\frac {Ar}{a(1+r)}}}}$

${\rm {(1+r)^{n}={\frac {Ar}{a(1+r)}}+1}}$

et
(3)