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II. – Quel sera le capital $\mathrm {A}$ accumulé par une annuité $\mathrm {a}$ versée à la fin de chaque année pendant $6$ ans, par exemple, au taux $\mathrm {r}$ pour $1^{\text{f}}$ (fig. 26) ?

Dans l’esprit de l’énoncé, le point de départ de l’opération est $1$ an avant le premier versement (car ici fin de chaque année ne signifie pas forcément 31 décembre.) La fin de l’opération a donc lieu dès le 6^e versement ; de sorte que :

la 1^re annuité reste placée $5$ ans.

la 6^e et dernière        –        $0$ année.

III. – Quel sera le capital $\mathrm {A}$ accumulé par $6$ versements annuels de $\mathrm {a} ^{\text{f}}$ chacun, au taux $\mathrm {r}$ pour $1^{\text{f}}$ (fig. 27) ?

Ici, l’opération commence nettement dès le 1^er versement, et se termine dès le 6^e; elle dure donc en réalité $5$ ans. Nous avons encore ici :

la 1^re annuité reste placée $5$ ans.

la 6^e et dernière        –        $0$ année.

PROBLÈME FONDAMENTAL

302. – Calculer le capital $\mathrm {A}$ accumulé par une annuité $\mathrm {a}$ versée au commencement de chaque année pendant $\mathrm {n}$ années, au taux $\mathrm {r}$ pour $1^{\text{f}}\ ?$

Le problème fondamental de l’annuité rentre dans le 1^er cas signalé plus haut.

1^re annuité $\mathrm {a} ,$ placée $\mathrm {n} \qquad$ années, devient                 ${\rm {a(1+r)^{n}.}}$

2^e      –      $\mathrm {a} ,$      –      $\mathrm {n} -1$        –    ,      –                      ${\rm {a(1+r)^{n-1}.}}$

3^e      –      $\mathrm {a} ,$      –      $\mathrm {n} -2$        –    ,      –                      ${\rm {a(1+r)^{n-2}.}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ou avant-dernière annuité, $\mathrm {a} ,$
est placée $2$ ans, et devient$(\mathrm {n} -1)$^e
${\rm {a(1+r)^{2}}}$

ou dernière annuités, $\mathrm {a} ,$ est
placée $1$ an et devient$\mathrm {n}$^e
${\rm {a(1+r).}}$

Le capital accumulé $\mathrm {A}$ est la somme de toutes ces valeurs.

${\rm {A=a(1+r)+a(1+r)^{2}+\ldots +a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{n}}}$