II. – Quel sera le capital
accumulé par une annuité
versée à la fin de chaque année pendant
ans, par exemple, au taux
pour
(fig. 26) ?
Dans l’esprit de l’énoncé, le point de départ de l’opération est
an avant le premier versement (car ici fin de chaque année ne signifie pas forcément 31 décembre.) La fin de l’opération a donc lieu dès le 6e versement ; de sorte que :
la 1re annuité reste placée
ans.
la 6e et dernière –
année.
III. – Quel sera le capital
accumulé par
versements annuels de
chacun, au taux
pour
(fig. 27) ?
Ici, l’opération commence nettement dès le 1er versement, et se termine dès le 6e; elle dure donc en réalité
ans. Nous avons encore ici :
la 1re annuité reste placée
ans.
la 6e et dernière –
année.
PROBLÈME FONDAMENTAL
302. – Calculer le capital
accumulé par une annuité
versée au commencement de chaque année pendant
années, au taux
pour
Le problème fondamental de l’annuité rentre dans le 1er cas signalé plus haut.
1re annuité
placée
années, devient
2e –
–
– , –
3e –
–
– , –
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ou avant-dernière annuité,
![{\displaystyle \mathrm {a} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86da2d3bc25ea093ef5385c93c852a9419a510bb)
est placée
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
ans, et devient
e![{\displaystyle {\rm {a(1+r)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753e6e055f79509a82973e0fa3094859d7d91131)
ou dernière annuités,
![{\displaystyle \mathrm {a} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86da2d3bc25ea093ef5385c93c852a9419a510bb)
est
placée
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
an et devient
e![{\displaystyle {\rm {a(1+r).}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8f9bd1ded3e07a3675bc614049f9f99d16f47b)
Le capital accumulé
est la somme de toutes ces valeurs.
![{\displaystyle {\rm {A=a(1+r)+a(1+r)^{2}+\ldots +a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8259c478b1356a77bbcbd76cd28a22aced529f7)