Ainsi, pour un placement de
ans
mois,
![{\displaystyle \mathrm {n} =3+{\frac {8}{12}}=3+{\frac {2}{3}}={\frac {11}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666e8b9900952f35e1de6eb98fcd4d61595c6250)
d’année
![{\displaystyle {\rm {A=a(1+r)^{\frac {11}{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301d8d5fb001fe52f1588ee3080a3741958dff91)
et l’on écrit
d’où
Grâce aux logarithmes, les calculs sont aussi faciles avec
fractionnaire qu’avec
entier.
294. – Justification. – Soient le nombre
entier d’années et
la fraction d’année supplémentaire. Au bout de
années, le capital est devenu
Supposons l’année divisée en
périodes égales ; admettons que la capitalisation se fasse à la fin de chacune de ces périodes, et soit
l’intérêt de
en une période. Cette convention est équitable à condition qu’au bout de
an l’intérêt total rapporté par
soit encore
Or, à la fin de la 1re période,
est devenu
au bout de l’année, qui comprend
périodes,
devient
On doit donc avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1+\mathrm {r} ')^{q}=&1+\mathrm {r} .\\1+\mathrm {r} '=&{\rm {{\sqrt[{q}]{1+r}}.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5d9a120bb195b3c505394a43ada7049b65aaca)
Au bout de la
e période,
devient :
![{\displaystyle {\rm {(1+r')^{p}=\left({\sqrt[{q}]{1+r}}\right)^{p}={\sqrt[{q}]{(1+r)^{p}}}=(1+r)^{\frac {p}{q}}\quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800afa2a25e8a00297c4a814d71e04da43a43a51)
(
no 108).
Or, au début de ce mode de capitalisation, le capital était
il est donc finalement
Nous arrivons donc à une formule analogue à la formule (1), et qui rentre dans la forme générale
où
peut être entier ou fractionnaire.
295. – Exemples. – I. – Un livret de Caisse d’épargne indiquait un avoir de
en fin 1902. Quelle valeur aura-t-il en fin 1911, le taux servi par cette Caisse étant
(On suppose bien entendu qu’il n’y a aucun autre dépôt ni retrait.)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\rm {a(1+r)^{n}}}\\\mathrm {A} =&854{,}3\times 1{,}03^{9}\\log\,\mathrm {A} =&log\,854{,}3+9\,log\,1{,}03.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fce466c3a8404d79598c79a67f70fb2dbcd6a05)