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égal au capital placé au début de ladite année, multiplié par $(1+\mathrm {r} ).$

À la fin de la 3^e année, on a donc $\qquad {\rm {a(1+r)^{3}.}}$

        –           $\mathrm {n}$^e      –              –              ${\rm {a(1+r)^{n}.}}$

La valeur cherchée est donc

${\rm {A=a(1+r)^{n}.}}$

(1)

291. – Applications. – On déduit de cette formule :

${\begin{aligned}log\,\mathrm {A} =&log\,\mathrm {a} +\mathrm {n} log\,(1+\mathrm {r} )\\log\,\mathrm {a} =&log\,\mathrm {A} -\mathrm {n} log\,(1+\mathrm {r} )\\\mathrm {n} =&{\frac {log\,\mathrm {A} -log\,\mathrm {a} }{log\,(1+\mathrm {r} )}}\\log\,(1+r)=&{\frac {log\,\mathrm {A} -log\,\mathrm {a} }{\mathrm {n} }}\end{aligned}}$Calcul de $\mathrm {A}$ :
Calcul de $\mathrm {a}$ :

Calcul de $\mathrm {n}$ :

Calcul de $\mathrm {r}$ :
(2)
(3)

(4)

(5)

d’où l’on tire la valeur de $(1+\mathrm {r} ),$ puis celle de $\mathrm {r} ,$ et enfin celle du taux de placement.

292. – Observation. – Le facteur $log\,(1+\mathrm {r} )$ étant multiplié par $\mathrm {n} ,$ l’erreur commise sur lui est donc multipliée par $\mathrm {n} .$ Par exemple, les logarithmes étant à $5$ décimales, $log\,(1+\mathrm {r} )$ est approché à $0{,}00001$ près ; si $\mathrm {n} =25,$ le produit ne sera approché qu’à $0{,}00025$ près ; on ne pourra donc pas compter sur l’exactitude des deux derniers chiffres de droite. Aussi, pour éviter des erreurs parfois très sensibles dans les résultats, il faut prendre $log\,(1+\mathrm {r} )$ avec $6$ décimales lorsque $\mathrm {n} <10\,;$ avec $7$ décimales lorsque $\mathrm {n} >10\,;$ si $\mathrm {n}$ dépassait $100,$ il faudrait $8$ décimales, etc…, puis, au produit $\mathrm {n} \,log\,(1+\mathrm {r} ),$ on ne conserve finalement que $5$ décimales. (Voir Table de log. page 64.)

293. – Cas où le temps n’est pas un nombre entier d’années. – Une convention admise par les banquiers permet d’employer la formule (1) dans tous les cas, ainsi que les formules (2), (3), (4), (5), qui en sont déduites. Mais alors $\mathrm {n} ,$ qui représente le temps du placement, est un nombre entier ou fractionnaire, l’année étant toujours prise pour unité.