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puissances de $\mathrm {q} \,;$ soient $\mathrm {q} ^{2}$ et $\mathrm {q} ^{3}$ ces puissances. Nous savons que

${\begin{aligned}log\,\mathrm {q} ^{2}=2r\;&\\log\,\mathrm {q} ^{3}=3r\;&\\{\text{––––––––––––––––}}&\\log\,\mathrm {q} ^{2}+log\,\mathrm {q} ^{3}=5r,\end{aligned}}$

Additionnons

D’autre part :

${\begin{aligned}log(\mathrm {q} ^{2}\times \mathrm {q} ^{3})=log\,\mathrm {q} ^{5}=&5r\\log\,\mathrm {q} ^{5}=&log\,\mathrm {q} ^{2}+log\,\mathrm {q} ^{3}\\log(\mathrm {ab} )=&log\,\mathrm {a} +log\,\mathrm {b} .\end{aligned}}$
Donc
ou    

La démonstration serait analogue avec plus de deux facteurs.

266. – Corollaire I. – Le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur,

${\rm {{\frac {a}{b}}=q.}}$Soit

$log\,\mathrm {q} =log\,\mathrm {a} -log\,\mathrm {b}$Je dis que

En effet, de                          ${\rm {{\frac {a}{b}}=q}}$    on tire    ${\rm {a=bq}}$

${\begin{aligned}log\,\mathrm {a} =&log\,\mathrm {b} +log\,\mathrm {q} \\log\,\mathrm {q} =&log\,\mathrm {a} -log\,\mathrm {b} \\log\,\mathrm {\frac {a}{b}} =&log\,\mathrm {a} -log\,\mathrm {b} \end{aligned}}$d’où    
et        
ou enfin

Remarque : Cette règle s’applique évidemment à une fraction, qui est un quotient.

267. – Corollaire II. – Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme du nombre multiplié par l’exposant de la puissance.

${\begin{aligned}log\,\mathrm {a} ^{3}=&3\,log\,\mathrm {a} \\\mathrm {a} ^{3}=&\mathrm {a} \times \mathrm {a} \times \mathrm {a} \\log\,\mathrm {a} ^{3}=&log\,\mathrm {a} +log\,\mathrm {a} +log\,\mathrm {a} \\log\,\mathrm {a} ^{3}=&3\,log\,\mathrm {a} \end{aligned}}$      Je dis que
  En effet
d’où            
ου