ce qui entraîne, par définition
.(3)
Les inégalités (2) et (3) comparées à (1) justifient les deux parties du théorème.
Un raisonnement analogue donnerait :
si ; si .
Conséquences. — Quand on doit multiplier les deux membres d’une inégalité par une quantité dont on ignore le signe, on multiplie par le carré de cette quantité, qui est toujours positif.
141. — Principe III. — Quand on élève au carré les deux membres d’une inégalité, on obtient en général une nouvelle inégalité :
1° De même sens, si les deux membres étaient positifs ;
2° De sens inverse, si les deux membres étaient négatifs ;
3° De sens inconnu, si les deux membres étaient de signes contraires.
Si les deux membres étaient deux nombres opposés, on obtiendrait une égalité.
1° Soient : ; ; .
Je dis que.
En effet, de je tire (1)
Puisque a et b sont positifs,.(2)
Multiplions les deux membres de l’inégalité (1) par la quantité positive , la nouvelle inégalité sera de même sens (n° 140, 1°) :
ou
ce qui entraîne, par définition : .
2° Soient : ; ; .
Je dis que.
En effet, de je tire(1)
Puisque a et b sont négatifs,.(2)
Multiplions les deux membres de l’inégalité (1) par la