LE CONTINU MATHÉMATIQUE
ET
LE CONTINU PHYSIQUE
1. L'échelle des nombres rationnels. — Je n’ai pas à rappeler ici en quoi consiste la notion de nombre entier, et celle de nombre rationnel. Je ne discuterai pas davantage l’origine psychologique ou métaphysique de ces notions, car les mathématiciens s’accordent assez bien entre eux lorsqu’ils parlent de nombres entiers ou rationnels pour que l’on puisse regarder cet accord comme un fait acquis, sur lequel on peut bâtir comme sur un terrain solide.
Rappelons les propriétés principales de l’ensemble des nombres rationnels.
1o Cet ensemble est partout dense. En d’autres termes, si l’on représente chaque nombre par le point d’un axe dont l’abscisse est égale à ce nombre, il y a des nombres rationnels sur chaque portion de l’axe, si petite qu’elle soit. Ceci entraîne la conséquence importante suivante : l’abscisse de tout point peut, à une approximation aussi grande que l’on veut, c’est-à-dire avec une erreur aussi petite que l’on veut, être représentée par un nombre rationnel.
2o De plus, cet ensemble est énumérable. Ceci veut dire que l’on peut ranger tous les nombres rationnels en une suite linéaire, de telle manière que chacun d’eux occupe un rang bien déterminé ; on peut, par exemple, convenir d’écrire d’abord les fractions positives pour lesquelles la somme du numérateur et du dénominateur a la plus petite valeur ; lorsque cette somme est la même pour deux fractions, on écrira d’abord celle dont le dénominateur est le plus petit ; enfin on
