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une différence presque aussi grande. Mais, même si cette approximation suffisait aux besoins de la pratique, il ne serait pas correct de dire que le nombre ${\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}$ est une valeur pratiquement exacte du rapport de la circonférence au diamètre, car on serait ainsi conduit, dans de nombreuses questions, à des résultats inacceptables. Il n’en serait pas tout à fait de même si une expression aussi simple que la précédente fournissait la valeur de $\pi$, d’autres avec dix décimales exactes ; cette expression aurait alors une valeur pratique ne pouvant être négligée ; et il est vraisemblable qu’elle aurait aussi un grand intérêt théorique ; mais une telle expression n’a pas été trouvée et il est peu vraisemblable qu’on la trouve, pour des raisons que nous indiquerons bientôt.

Une dernière remarque à propos du nombre $\pi$ ; des calculateurs patients en ont obtenu la valeur avec 700 décimales ; quel est l’intérêt d’un tel calcul ? Il est évidemment nul au point de vue pratique ; il pourrait être très grand au point de vue théorique, s’il révélait une loi simple que l’on pourrait chercher à démontrer ; si, par exemple, on constatait que le chiffre 7 est toujours suivi du chiffre 9, ou que les chiffres pairs sont sensiblement plus nombreux que les chiffres impairs ; mais l’existence de telles lois n’est guère vraisemblable et dès lors, un résultat tel que le suivant : la 500^ème décimale de $\pi$ est un 8 est évidemment vrai au point de vue abstrait, mais n’a aucune valeur pratique, car il ne correspond à aucune réalité ; il ne se relie à rien : ou peut le comparer à la détermination minutieusement exacte, par les procédés les plus précis, du poids d’un grain de blé unique choisi au hasard dans la récolte d’un champ ; le nombre ainsi obtenu exprime évidemment une vérité particulière, mais n’a aucun intérêt scientifique : il n’en serait pas de même de la détermination du poids moyen des grains de blé et de la loi des écarts autour de cette moyenne.

6. Les approximations numériques. — Nous avons déjà rappelé que la théorie des fractions continues fournit un procédé régulier pour obtenir les nombres rationnels les plus simples qui approchent le plus d'une valeur irrationnelle ou d’une valeur expérimentale ; on peut de même chercher les expressions simples de toute nature qui fournissent une représentation approchée d’un nombre donné par l’expérience. Je n’insisterai pas sur cette question, qui est des plus difficiles