FONCTIONS D’UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 55
Paragraphes. Pages.
IX. Application du théorème du § VII lorsque, dans toutes les parties de surface, ^ + t- — o 16
dx dy
X. Conditions sous lesquelles à l’intérieur d’une surface T, recouvrant simplement A, une fonction «, qui, en général, satisfait à Téquad
- u à2u . ,. . ,
tion -r !— :— = o, est. ainsi que toutes ses dérivées, partout dx1 dy3
finie et continue 21
XI. Propriétés d’une telle fonction 25 XII. Conditions sous lesquelles à L’intérieur d’une surface T, simplement connexe recouvrant simplement A, une fonction w de z est, ainsi que toutes ses dérivées, partout finie et continue 27 XIII. Discontinuités d’une pareille fonction en un point intérieur, 29 XIV. Extension des théorèmes des § XII et XIII aux points à l’intérieur d’une surface plane quelconque 3o
XV. Propriétés générales de la représentation d’une surface T recouvrant le plan A sur une surface S recouvrant le plan B, représentation qui représente géométriquement les valeurs d’une fonction w de z. 33 XVI. L’intégrale relative à toute
la surface T, prend toujours, lorsque l’on adjoint à a des fonctions continues ou discontinues seulement en des points isolés et qui sont égales à zéro sur le contour, une valeur minima pour une de ces fonctions, lorsque l’on exclut des discontinuités qui peuvent être détruites par modification en des points isolés 36 XVII. Démonstration, à l’aide de la méthode des limites, d’un théorème admis dans le paragraphe précédent 38 XVIII. Lorsque sur une surface plane connexe quelconque T, décomposée par des sections transverses en une surface simplement connexe T*, l’on donne une fonction oc-f- pf de x, y pour laquelle Tinté ffra lf*
relative à toute la surface, est finie, cette fonction peut toujours, et cela d’une manière unique, être transformée en une fonction de z par l’adjonction d’une fonction qui satisfait aux conditions suivantes :
i° p. — o sur le contour, v est donnée en un point ; 20 Les variations de p, sur T, de v sur T* ne sont discontinues qu’en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales
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relatives à toute la surface, restent finies et que les variations de v aient les mêmes valeurs le long des deux bords d’une section transverse 4°
