oùm<a qui renferment à leur intérieur le point O0 et, d’autre pari, en parties où m > a dont l’encadrement est formé en partie par le contour de T, en partie par des lignes o à m — a.
L’ordre de connexion de la surface T ou bien ne sera pas diminué par cette décomposition, eu bien le sera ; comme cet ordre est égal à -1, la surface sera donc décomposée soit en deux morceaux d’ordres de connexion 0 et -1, soit en plus de deux morceaux. Mais cette dernière circonstance est impossible, car, dans un de ces morceaux au moins, la partie réelle m devrait être partout finie et continue et constante en toutes les parties de l’encadrement, et, par suite, devrait avoir soit une valeur constante en une portion de surface, soil une valeur maxima ou bien minima en un endroit quelconque, c’est-à-dire en un point ou le long d’une ligne, ce qui est contraire au §XI, proposition III. Les points où m est constant forment, par conséquent, des lignes partout simples, qui se ferment et qui forment chacune l’encadrement d’un morceau renfermant le point O0, et où m décroît nécessairement vers l’intérieur. Il s’ensuit que pour un circuit positif (ou s croit, d’après le § VIII) la grandeur /i, tant qu’elle est continue, est toujours croissante, et, par conséquent, puisqu’elle éprouve une variation brusque de — 27t [1] seulement quand on passe du bord négatif au bord positif de la ligne elle sera alors égale une fois à chaque valeur comprise entre o et 27t, abstraction faite d’un multiple de 27t.
Posons maintenant et=w, em et n seront alors les coordonnées polaires du point Q relativement au centre du cercle K pris comme origine.
Mais l’ensemble des points Q forme évidemment une surface S recouvrant K partout simplement. Le point Q0 de celle-ci tombe au centre du cercle, mais le point Q ; peut, par l’entremise de la constante dont on peut encore disposer dans la fonction n, être porté en un point donné quelconque de la circonférence.
- ↑ Puisque la ligne l' mène d’un point intérieur du morceau à un point extérieur, il faut, lorsqu’elle en coupe plusieurs fois l’encadrement, qu’elle traverse de l’intérieur à l’extérieur une fois de plus que de l’extérieur à l’intérieur ; la somme des variations brusques de n pendant un circuit positif est donc toujours égal à — 2tu, — (Riemann.)
