chaque point de Vune corresponde un point unique de l’autre dont la position varie d’une manière continue avec celle du premier, et de telle sorte que les plus petites parties correspondantes des surfaces soient semblables ; de plus, pour un point de l’intérieur et pour un point de l’encadrement de la surface, les points correspondants de l’autre surface peuvent être donnés quelconques ; mais alors la correspondance est déterminée par cela même pour tous les points.
Lorsque deux surfaces T et R sont rapportées sur une troisième S, de telle sorte qu’entre les plus petites parties correspondantes de T et S et de R et S il y ait similitude, par cela même il existe une correspondance entre les surfaces T et R, où le même fait a évidemment lieu.
Le problème de la représentation de deux surfaces quelconques l’une sur l’autre, de telle sorte que la similitude soit conservée dans leurs plus petites parties, est donc ramené à celui-ci : représenter chaque surface quelconque sur une même surface déterminée de sorte qu’il y ait similitude en les plus petites parties.
Ainsi, pour démontrer notre théorème, si nous décrivons sur le plan B, du point iv — o comme centre, un cercle K de rayon i, il suffira seulement de démontrer ceci : une surface simplement connexe quelconque T recouvrant A, peut être toujours représentée sur le cercle R d’une manière connexe, la similitude étant conservée dans les plus petites parties, et cela d’une façon unique, en opérant de telle sorte qu’au centre du cercle corresponde un point donné quelconque O0 à l’intérieur de T, et à un point donné quelconque de la circonférence un point donné quelconque Cf sur l’encadrement de T.
Distinguons les désignations déterminées de la grandeur z et du point Q relatives aux points O0 et O', en leur attribuant l’indice ou l’accent correspondant, et décrivons sur T du point O0 comme centre un cercle quelconque 0, qui ne s’étend pas jusqu’à l’encadrement de T et ne renferme aucun point de ramification. Introduisons des coordonnées polaires en posant z -z0=...l’on aura, pour la fonction log(z-z0)7
Formule
La partie réelle varie donc dans tout le cercle d’une manière
