restreint ; tous ces cas à peu près peuvent être ramenés à ces lois de dépendance entre deux grandeurs variables où l’une est soit fonction algébrique de l’autre (c’est-à-dire lorsque entre les deux a lieu une équation algébrique), soit une fonction dont la dérivée est une fonction algébrique ; mais presque tout le progrès accompli ici a donné non seulement une forme plus simple, plus expéditive aux résultats acquis sans l’aide des grandeurs complexes, mais encore a ouvert aussi le chemin à de nouvelles découvertes ; l’histoire des recherches relatives aux fonctions algébriques, circulaires ou exponentielles, elliptiques et abéliennes en offre les exemples.
Indiquons rapidement le nouveau progrès qui résulte de nos recherches pour la théorie de pareilles fonctions.
Les méthodes dont on s’est servi jusqu’ici pour le traitement de ces fonctions partent toujours du principe qui consiste à prendre pour définition une expression de la fonction, sa valeur étant ainsi donnée par chaque valeur de son argument. Nos recherches ont démontré que, par suite du caractère général d’une fonction d’une grandeur complexe variable, une partie des éléments de détermination sont, dans une définition de cette nature, une conséquence de la partie restante, et, à vrai dire, alors l’ensemble de ces éléments est ici ramené à ceux qui sont nécessaires à la détermination.
Cela simplifie essentiellement le traitement de la question. Ainsi pour démontrer, par exemple, l’égalité de deux expressions de la même fonction l’on devait autrefois les transformer l’une en l’autre, c’est-à-dire faire voir qu’elles coïncidaient toutes deux pour toute valeur de la grandeur variable ; or, il suffit maintenant de démontrer qu’elles coïncident dans un domaine bien plus restreint.
Une théorie de ces fonctions, basée sur les principes introduits ici, établirait la figuration de la fonction (c’est-à-dire sa valeur pour toute valeur de son argument), indépendamment d’une méthode pour déterminer la fonction au moyen des opérations sur les grandeurs ; on parviendrait à la définition générale d’une fonction d’une grandeur variable complexe en ajoutant seulement les caractères nécessaires pour déterminer la fonction particulière ;
