dans les plus petites parties, à l’exception de certains points isolés. Les conditions que l’on a trouvées précédemment, suffisantes et nécessaires pour la détermination de la fonction, sont relatives soit à ses valeurs sur le contour, soit à ses valeurs aux points de discontinuité. Elles se présentent donc (§XV) toutes comme conditions pour la figuration du contour de S en donnant pour chaque point du contour une équation de condition. Si chacune de ces équations est relative seulement à un point d’encadrement, elles seront représentées par un réseau de courbes, le lieu géométrique de chaque point du contour étant formé par une de ces courbes. Lorsque deux points du contour, dont l’un varie d’une manière continue avec l’autre, sont soumis ensemble à deux équations de condition, il existe par ce fait, entre deux parties du contour, une relation de dépendance telle que, la situation de l’une étant prise arbitrairement, la situation de l’autre en sera une conséquence. De même l’on obtiendra, pour d’autres formes des équations de condition, une interprétation géométrique analogue ; mais nous n’insisterons pas davantage sur ce point.
L’introduction des grandeurs complexes dans les Mathématiques a son origine et son but immédiat dans la théorie de lois de dépendance simples [1] entre des grandeurs variables ; lois exprimées par des opérations sur les grandeurs. En effet, si l’on applique ces lois de dépendance dans un champ plus étendu, en attribuant des valeurs complexes aux grandeurs variables auxquelles se rapportent ces lois, il se présente alors une harmonie et une régularité qui sans cela restent cachées. Les cas où cette extension avait été faite forment jusqu’ici, il est vrai, un domaine
- ↑ Nous regardons ici comme opérations élémentaires : l’addition et la soustraction, la multiplication et la division, l’intégration et la différentiation ; et une loi de dépendance est pour nous d’autant plus simple qu’elle nécessite moins d’opérations élémentaires. En effet, toutes les fonctions, dont on s’est servi jusqu’ici dans l’analyse, peuvent être ramenées à un nombre fini de ces opérations. — (Riemann.)
