Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/81

Cette page n’a pas encore été corrigée

tions n’éprouvent aucune modification essentielle ; en effet, l’application du théorème du § XVIII fournit une fonction jouissant des mêmes propriétés que celles que l’on vient d’étudier, aux variations près à la traversée des sections transverses, variations qui peuvent être rendues égales à zéro, lorsque les conditions relatives à l’encadrement contiennent un nombre de constantes disponibles égal à celui des sections transverses.

Le cas, où la continuité est interrompue le long d’une ligne à l’intérieur de la surface, peut être subordonné au précédent, si l’on considère cette ligne comme une section pratiquée dans la surface.

Finalement, si l’on admet une solution de la continuité en un point isolé, c’est-à-dire, d’après le § XII, un infini de la fonction en un point, alors, en conservant les autres hypothèses faites dans le cas étudié au commencement, l’on peut trouver relativement à ce point une fonction de z quelconque, après soustraction de laquelle la fonction qu’il s’agit de déterminer sera continue ; mais, par cela même, cette dernière sera complètement déterminée. En effet, supposons la grandeur a + pi égale à la fonction donnée dans un cercle aussi petit que l’on voudra, dont le centre est en ce point de discontinuité, et cela d’ailleurs conformément aux prescriptions antérieures, alors l’intégrale

Formule
relative à ce cercle, est égale à zéro ; prise relativement à la partie restante, l’intcgrale est égale à une grandeur finie ; on peut donc faire l’application du théorème précédent, ce qui permet d’obtenir une fonction qui jouit des propriétés exigées. L’on peut de ceci conclure, en vertu du théorème du § XIII, que, lorsqu’en un point isolé la fonction peut devenir infiniment grande d’ordre n, le nombre des constantes dont on peut disposer sera en général égal à an,

Représentons géométriquement (d’après le § XV), une fonction w, d’une grandeur complexe z, variant à l’intérieur d’un domaine donné à deux dimensions ; cette fonction fournit alors une représentation conforme S, recouvrant le plan B, d’une surface donnée T, recouvrant le plan A, la similitude étant conservée