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nouvelles ; ils mettent en pleine lumière, par les notions profondes de classes et de genres, la nature intime, restée jusqu’alors inconnue, des fonctions algébriques ; ils conduisent à ce nombre extrêmement caché des modules ou des constantes qui appartiennent essentiellement à chaque classe ; ils définissent, dans le sens le plus général, les intégrales de première, de seconde et de troisième espèce. Puis, une éclatante découverte : la solution, au moyen des fonctions $\Theta$ généralisées, du problème général de l’inversion de ces intégrales, problème résolu seulement dans des cas particuliers, et au prix des plus grands efforts, par Göpel et Rosenhain, pour les intégrales hyperelliptiques de première classe, et par Weierstrass, pour les intégrales hyperelliptiques d’ordre quelconque. Jamais, dans aucune publication mathématique, le don de l’invention n’était apparu avec plus de puissance, jamais on n’avait admiré autant de belles conquêtes dans les plus difficiles questions de l’Analyse. Ces découvertes ont eu sur le mouvement de la Science une influence qui ne s’est pas fait attendre ; par une heureuse fortune, qui a manqué à Cauchy, nos plus éminents géomètres contemporains se sont efforcés à l’envi de développer les principes de Riemann, d’en poursuivre les conséquences et d’appliquer ses méthodes. La notion de l’intégration le long d’une courbe avait été exposée, sous la forme la plus simple et la plus facile, avec de nombreuses et importantes applications qui en montraient la portée, dès 1825, dans un Mémoire de Cauchy ayant pour titre : Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires ; mais elle reste dans les mains de l’illustre Auteur ; elle n’est connue ni de Jacobi, ni d’Eisenstein, et l’on constate avec regret maintenant combien elle leur a fait défaut ; il faut attendre vingt-cinq ans, jusqu’aux travaux de Puiseux, de Briot et Bouquet, pour qu’elle prenne son essor et rayonne dans l’Analyse. La notion profonde des surfaces