ê PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. possède une connexité multiple, en une surface simplement connexe T* à l’aide de sections transverses ; alors, par conséquent, l’intégrale
relative à une ligne quelconque joignant O0 à O à l’intérieur de T*, possède toujours la même valeur et représente, O0 étant regardé comme fixe, une fonction de x} y qui sur T* éprouve partout une variation continue qui, le long d’une section transverse, est la même sur les deux bords. Cette fonction v adjointe à (3 nous fournit une fonction ^ = J3 —|— v dont les dérivées sont àv du th ; du
dx dy dy dx
D’où l’on conclut le
Théorème. — Lorsque sur une surface connexe T, décomposée par des sections transverses en une surface simplement connexe T*, Von donne une fonction complexe a -p (3/ de xfj’, pour laquelle Vintégrale
étendue à toute la surface, possède une ’valeur finie, cette fonction peut être toujours, et cela d’une manière unique, transformée en une fonction de z par V adjonction d’une fonction p. 4- vf de x, y qui satisfait aux conditions suivantes : 1“ Sur le contour, p = o ou, du moins, diffère de zéro seulement en des points isolés ; en un point, v est donnée d’une manière arbitraire ;
2° Les variations de p sur T, celles de v sur T* ne sont discontinues qu’en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales
mthm’h - im- am-
relatives à toute la surface, restent finies ; de plus, les variations de v le long d’une section transverse sont égales sur les deux bords.
