38 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. séquent, M = M/. Mais, si Ton met uf sous la forme u -h V, l’on obtient pour M’l’expression M + U, L/ désignant la valeur de L pour et l’équation M = M’ donne alors L’ = o. Ceci est seulement possible lorsqu’en toutes les parties de la surface on a ôV ôV
ôx ~ °’ ~ày ° ’
par suite, tant que V est continue, cette fonction a nécessairement une valeur constante, et, par conséquent, puisque celte fonction est égale à zéro sur le contour et n’est pas discontinue le long d’nne ligne, elle a une valeur différente de zéro au plus en des points isolés. Deux des fonctions to, pour lesquelles Q atteint un minimum, ne peuvent donc être différentes l’une de l’autre qu’en des points isolés, et, par conséquent, lorsque dans la fonction u l’on a supprimé toutes les discontinuités qui peuvent être détruites par une modification de sa valeur en des points isolés, ladite fonction est parfaitement déterminée. § XVII.
Nous allons donner maintenant la démonstration précédemment annoncée que X, sans pour cela que L cesse de rester fini, ne peut tendre indéfiniment vers une fonction y discontinue le long d’une ligne ; c’est-à-dire que si la fonction A est soumise à la condition de coïncider avec y en dehors d’une portion de surface T7 renfermant la ligne de discontinuité, T’ peut alors être prise suffisamment petite pour que L devienne forcément plus grande qu’une grandeur assignée quelconque G.
Conservant à $ et / ?, relativement à la ligne de discontinuité, les significations habituelles, désignons, pour un s indéterminé, par x la courbure, une courbure convexe du côté des p positifs étant considérée comme positive, par pK la valeur de p sur le contour de T du côté des p positifs, par p2 la valeur de p sur le contour de T ; du côté des p négatifs, et enfin les valeurs correspondantes de y par y< et y2. Considérons alors une portion quelconque à courbure continue de cette ligne ; la partie de Tf comprise entre
