34 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. Démonstration. — Si w avait a -f- bi pour valeur constante le long d’une ligne, alors u — a et a c’est-à-dire — seraient nulles le long de cette ligne, et l’on aurait partout d*(u — a) àî( u — a)
a —1“ , = O !
dx2 dy*
par conséquent, en vertu de la proposition I, § XT, u — a et, par suite, puisque
du dv du dv
dx dy1 dy dx ’
v— b aussi seraient égales partout à zéro, ce qui est contraire à l’hypothèse.
II. — Par suite de l’hypothèse posée en I, il ne peut exister une connexion entre les parties de S, sans qu’il en soit de même entre les parties correspondantes de T. Réciproquement, partout où a lieu une connexion sur T et où w est continue, on peut attribuer une connexion correspondante à la surface S. Ceci posé, le contour de S correspond, d’une part, au contour de T et, d’autre part, aux points de discontinuité ; mais les parties à l’intérieur de S, exception faite de points isolés, recouvrent partout d’une manière unie le plan B ; c’est-à-dire qu’une portion de surface ne se prolonge jamais en deux autres portions différentes superposées, ni en une autre portion qui se replierait en se superposant à la première. Le premier de ces faits ne pourrait évidemment se présenter, T ayant partout une connexion correspondante à celle de S, que s’il avait aussi lieu sur T, ce qui est contraire à nos hypothèses. Quant au second point, nous allons le démontrer de suite.
Démontrons, en premier lieu, qu’un point Q7 où ^ est fini ne peut être situé en un pli de la surface S. À cet effet, joignons le point O7 auquel correspond Q7 à une portion de la surface de forme quelconque et de dimensions indéterminées. Alors, en vertu du § III, ces dimensions doivent pouvoir être prises suffisamment petites pour que la forme de la partie correspondante sur S diffère aussi peu que l’on voudra de ce morceau sur T ; elles seraient de cette manière si petites que le
