FONCTIONS D’üNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 3l tion O’ d’ordre (n — i) où l’on a z — zf~ xf~hyri7 représentée par i
l’entremise de la fonction £ = — zf)n sur un autre plan À, c’est-à-dire que nous supposerons la valeur de la fonction Ç = £ H-r^* au point O représentée sur ce plan À par un point 0 dont les coordonnées rectangulaires sont £ et r,, et nous regarderons 0 comme l’image (Bild) du point O. De cette manière, nous obtenons comme représentation ( Abbildung) de cette partie de la surface T une surface connexe recouvrant À et qui au point 0’, image du point O’, n’a pas de point de ramification, comme nous allons le faire voir de suite.
Pour fixer les idées, concevons qu’autour du point O’ comme centre, sur le plan À, on décrive un cercle de rayon R et que l’on mène un diamètre parallèle à l’axe des x où, par conséquent, ^ — zf prendra des valeurs réelles. Le morceau détaché de T par ce cercle et contenant le point de ramification se décompose alors sur les deuxbords du diamètre, lorsque R est pris suffisamment peut, en n portions de surface ayant leurs cours séparés de chaque côté du diamètre et ayant la forme de demi-cercles. Nous désignerons ces portions de surface, du côté du diamètre ou y—y ! est positif, para*, a2, et, sur le côté opposé, par a, a’M ■ • ., dn, et nous supposerons que, pour les valeurs négatives de z — s1, aK, a2, ..., an soient dans cet ordre respectivement soudés pour les valeurs négatives de £ — zf avec d0 d2, ..., dn et pour les valeurs positives de z — zf avec dn., a’, a’2, ..., dn_K ; de la sorte un point décrivant un circuit autour du point O’ (dans le sens convenable) cheminera successivement sur les surfaces a, a2, . . ., a/iy at et de an reviendra sur ai7 supposition évidemment admissible.
Introduisons alors sur les deux plans des coordonnées polaires, en posant z — z} = oe ?1, Ç — deet choisissons pour la représentation de la portion de surface aK la valeur que prend l’expresl i fi
sion (z — zf)n = p" en , quand l’on suppose o^col’on a de la i
- — TC ■ ■ •
sorte, pour tous les points de aiy tr^R" et ^es images de ces points sur le plan À recouvrent donc le secteur s’étendant de à — o jusqu’à à = ^ et faisant partie d’un cercle décrit du
