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28 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. déjiniment de O’, cette fonotion, ainsi que toutes ses dérivées, est finie et continue en tous les points à V intérieur de la surface. Les hypothèses que l’on a faites relativement aux variations de la grandeur w, se partagent, lorque l’on pose >5 — z* =■ pe*S en les suivantes, relatives à u et v : du àv 1 T ’ “ Â~ = °’ dx dy du àv 2° L-- = o, dy dx pour chaque partie de la surface T ; 3° Les fonctions u et v ne sont pas discontinues le loDg d’une ligne ; 4° En tout point (V, pu et pv deviennent infiniment petits avec p, distance de O au point O’ ; 5° Pour les fonctions u et v, des discontinuités qui pourraient être détruites par une modification de leur valeur en des points isolés sont exclues. Par suite des hypothèses 2°, 3°, 4° ? en chaque partie de la surface T l’on a (d’après § IX, proposition III) /( dx dy ds u ~ — v ~ ) ds — o, ds / l’intégrale étant relative au contour entier de cette partie, et ainsi (§ IX, proposition IV) l’intégrale “° ’ ày £(*£- vfs)ds possède toujours la même valeur quand elle est prise le long de lignes allant de O0 à O, et représente, O0 étant regardé comme fixe, une fonction U de te, y nécessairement continue, sauf en des points isolés et ayant en chaque point (d’après 5°) pour dérivées dû dû — = u et — = — v. dx dy La substitution de ces valeurs à u et à v transforme les hypothèses