20 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. du • i * i
u — o et — = o ne peuvent avoir lieu sur une partie de contour d’un morceau b de surface où u est négatif. Maintenant, lorsqu’en une ligne de la surface T on a u — o et
— = o, si, en une partie quelconque de la surface, u était alors différent de zéro, il faudrait évidemment qu’une telle partie de surface fût limitée soit par cette ligne même, soit par une portion de surface où u serait égal à zéro ; par conséquent, elle serait toujours limitée par une ligne où m et ^ seraient nuls, ce qui conduit nécessairement à une des hypothèses que nous venons de rejeter. du
II. Lorsque la valeur de u et de est donnée le long d’une ligne, u est par cela même déterminé en toutes les parties de T. Soient u{ et «2 deux fonctions quelconques déterminées qui satisfont aux conditions prescrites à la fonction u ; leur différence U — u2 y satisfait aussi, comme on le reconnaît directement par substitution dans ces conditions. Maintenant, si U et u2, ainsi que leurs dérivées premières par rapport à p, sont identiques le long d’une ligne, mais non identiques en une autre partie de surface, l’on aurait, le long de cette ligne, d ( ux —
iii — u2 = o et t = o,
dp
sans que l’on eût partout ces mêmes équations, ce qui serait contradictoire avec la proposition I.
III. —■ Les points à l’intérieur de T, où u a une valeur constante, forment nécessairement, quand u n’est pas partout constant, des lignes qui séparent telles parties de la surface où u est plus grand de telles parties de la surface où u est plus petit (que la constante en question).
Cette proposition consiste en la réunion des suivantes : u ne peut avoir ni un maximum ni un minimum en un point à l’intérieur de T ;
u ne peut être constant seulement en une partie de la surface ; Les lignes où u = a ne peuvent sur les deux bords séparer des portions de surface où u — a auraitle même signe :
