20 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. et, en pratiquant des sections transverses, l’on transformera cette surface restante en une surface simplement connexeT*. Pour toute ligne joignant à l’intérieur de T* un point O0 à un autre point O, notre intégrale a alors même valeur. Cette valeur, que pour abréger l’on pourra désigner par
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O0 étant fixe et O mobile, est donc bien déterminée pour chaque position de O, quel que soit le cours de la ligne joignant ces points et elle peut être, par conséquent, considérée comme fonction de x, y. La variation de cette fonction, lors d’un déplacement de O le long d’un élément quelconque de ligne ds, sera exprimée par et elle sera partout continue sur T* et le long d’une section transverse de T elle a même valeur sur chacun des deux bords. V. — L’intégrale
z= f’Vv ..
0s ds
Z = Ç (Y — — Ti%ds
représente donc, le point O0 étant fixe, une fonction de x, y partout continue sur T*, mais qui, à la traversée des sections transverses de T, varie d’une grandeur constante le long de celles-ci d’un point de branchement à un autre, et cette fonction a pour dérivées partielles
àT, y à7j ^
dx^ ’ dÿ = ~~ ’ *
Les variations à la traversée des sections transverses dépendent de certaines grandeurs indépendantes entre elles, dont le nombre est égal à celui des sections transverses. En effet, lorsque l’on parcourt le système des sections transverses dans le sens rétrograde, c’est-à-dire que de deux points quelconques le plus avancé se présente le premier, cette variation est partout déterminée lorsque sa valeur est donnée au commencement de chaque section transverse ; mais lesdites valeurs aux commencements des coupures sont indépendantes entre elles [3].
