FONCTIONS D’UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 19 de O0 en O, deux points fixes quelconques sur cette surface, possède la même valeur pour chacune de ces lignes. En effet, deux lignes s{ et s2> joignant les points O0 et O, forment toujours parleur réunion une ligne fermée s3 ; ou bien cette ligne jouit elle-même de cette propriété de ne traverser aucun point plusieurs fois, ou bien on peut la décomposer en plusieurs lignes fermées ayant cette propriété et cela comme il suit : on part d’un point quelconque pour décrire le contour et, chaque fois que l’on rencontre un point déjà traversé, l’on sépare la partie intermédiaire décrite pour considérer la partie qui suit comme le prolongement immédiat de celle qui précédait. Mais toute ligne pareille fermée partout simple décompose la surface en une partie simplement connexe et une partie doublement connexe. Elle forme donc nécessairement le contour total d’un de ces morceaux, et l’intégrale
relative à cette ligue, sera donc, d’après notre supposition, égale à zéro. Il en sera, par suite, de même de cette intégrale étendue à toute la ligne $3, lorsque la grandeur s est regardée comme croissant partout dans la même direction.
Par conséquent, les intégrales prises le long des lignes s, et s2, lorsque cette direction ne change pas, c’est-à-dire lorsqu’elle est comptée le long de l’une de ces lignes de O0 à O et le long de l’autre de O à O0, se détruisent et, par suite, lorsque le long de la seconde ligne la direction est changée, les intégrales sont égales.
Si l’on a maintenant une surface quelconque T sur laquelle, en général, on a
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on exclura d’abord, lorsqu’il est nécessaire, les points de discontinuité, de sorte que, pour la surface restante, l’on ait pour chaque partie
